Usando transformada da derivada, mostre que:
mathscrLsen a t=as^2+a^2, s>0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de mathscrLsin(at) para s>0, utilizando a propriedade da transformada da derivada. Para isso, vamos definir as funções f(t)=sin(at) e g(t)=cos(at), usar
mathscrLf'(t)=sF(s)-f(0) e mathscrLg'(t)=sG(s)-g(0),
montar um sistema para as transformadas F(s)=mathscrLf(t) e G(s)=mathscrLg(t) e resolvê-lo.

Passo 2

Calcule a derivada de f e aplique a transformada:
f'(t)=acos(at), f(0)=0
Logo,
mathscrLf'(t) = s,F(s)-f(0)=s,F(s),
por outro lado
mathscrLf'(t) = mathscrLacos(at) = a,G(s)
Daí obtemos
a,G(s) = s,F(s)

Passo 3

Calcule a derivada de g e aplique a transformada:
g'(t)=-asin(at), g(0)=1
Assim,
mathscrLg'(t) = s,G(s)-g(0)=s,G(s)-1,
e também
mathscrLg'(t) = mathscrL-asin(at) = -a,F(s)
Portanto,
s,G(s)-1 = -a,F(s)

Passo 4

Temos o sistema
a,G(s) = s,F(s), s,G(s) - 1 = -a,F(s)
Da primeira equação vem G(s)=tfracsaF(s). Substituindo na segunda:
sl(tfracsaF(s)r)-1 = -a,F(s) Longrightarrow tfracs^2aF(s)-1 = -a,F(s)
Multiplicando tudo por a:
s^2,F(s)-a = -a^2,F(s) Longrightarrow (s^2+a^2),F(s) = a Longrightarrow F(s) = as^2+a^2

Resposta

mathscrLsin(at) = as^2 + a^2, s>0

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