Considere a função f(x, y)=cll3 x^2 yx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0). Pedimos:
a) Encontre as expressões de partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para todos os pontos (x, y) in R^2-(0,0);
b) Encontre partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos a função f é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, ela não é diferenciável.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac3x^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede (a) as derivadas parciais para (x,y)neq(0,0), (b) as derivadas parciais em (0,0) usando a definição, e (c) onde f é diferenciável. Vamos usar a regra do quociente para (a), o limite de diferença para (b) e o critério de diferenciabilidade (linearização) em (c).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) definimos
N(x,y)=3x^2y, D(x,y)=x^2+y^2,
logo f=N/D. A regra do quociente dá
partial fpartial x =D,partial Npartial x-N,partial Dpartial xD^2 =(x^2+y^2)(6xy)-3x^2y,(2x)(x^2+y^2)^2 =6xy(x^2+y^2)-6x^3y(x^2+y^2)^2 =6x y^3(x^2+y^2)^2
Do mesmo modo
partial Npartial y=3x^2, partial Dpartial y=2y,
então
partial fpartial y =(x^2+y^2)(3x^2)-3x^2y,(2y)(x^2+y^2)^2 =3x^2(x^2+y^2)-6x^2y^2(x^2+y^2)^2 =3x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=3h^2cdot0/(h^2+0)=0. Analogamente
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 4

Para diferenciabilidade em (x,y)neq(0,0), f é quociente de funções polinomiais com Dneq0, logo é C^infty e, em particular, diferenciável em todo ponto fora da origem.
No ponto (0,0), a linearização seria
L(h,k)=partial fpartial x(0,0),h+partial fpartial y(0,0),k =0
Precisamos ver se
f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =f(h,k)raizh^2+k^2
tende a zero quando (h,k)to(0,0). Em coordenadas polares h=rcostheta, k=rsintheta temos
f(rcostheta,rsintheta) =3(rcostheta)^2(rsintheta)r^2 =3rcos^2thetasintheta,
logo
f(h,k)raizh^2+k^2 =3rcos^2thetasinthetar =3cos^2thetasintheta,
que depende de theta e nem sempre é 0 (por exemplo, theta=pi/4 3/(2raiz2)neq0). Logo o quociente não vai a zero, e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =6x,y^3(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =3x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
(b)
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0
(c) f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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