Usando a transformada de Laplace encontre a solução do PVI
y^prime prime+4 y=t, y(0)=3, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a solução do problema de valor inicial
y'' + 4y = t, y(0)=3, y'(0)=-1
usando transformada de Laplace. É um PVI de EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçante t. Vamos precisar das fórmulas de transformada de derivadas, da transformada de t e fazer frações parciais pra inverter.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=Ly(t)(s), temos:
Ly'' + 4Ly = Lt
Usando
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly = Y(s) e Lt=1/s^2, e inserindo y(0)=3, y'(0)=-1, vem:
(s^2Y(s)-3s-(-1)) + 4Y(s) = 1s^2

Passo 3

Agora a gente isola Y(s). Reunindo termos:
(s^2+4)Y(s) -3s +1 = 1s^2,
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Y(s) = 3s-1s^2+4 + 1s^2(s^2+4)

Passo 4

Precisamos decompor a parte 1/[s^2(s^2+4)]. Fazendo frações parciais:
1s^2(s^2+4) = As + Bs^2 + Cs+Ds^2+4
Após igualar coeficientes obtemos A=0, B=1/4, C=0 e D=-1/4. Então
1s^2(s^2+4) = 1/4s^2 - 1/4s^2+4
Substituindo em Y(s):
Y(s) = 3s-1s^2+4 + 14s^2 - 14(s^2+4) = 3s - 5/4s^2+4 + 14s^2

Passo 5

Agora invertemos termo a termo usando a tabela básica:
  • L^-1s/(s^2+4) = cos(2t)
  • L^-11/(s^2+4) = tfrac12sin(2t)
  • L^-11/s^2 = t
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y(t) = 3cos(2t) - 54cdot12sin(2t) + 14t = 3cos(2t) - 58sin(2t) + t4

Resposta

y(t) = 3cos(2t) - tfrac58sin(2t) + tfract4

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