Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(l) (e^x+y-y) d x+(x e^x+y+1) d y=0

Passo 1

O exercício dá a EDO (e^x+y-y),dx + (x e^x+y+1),dy = 0 e pede pra testar exatidão, encontrar fator integrante se necessário e resolver a equação.

Passo 2

Calculo as derivadas parciais pra ver se é exata:
A(x,y)=e^x+y-y, então
partial Apartial y=e^x+y-1
E B(x,y)=x e^x+y+1, então
partial Bpartial x=e^x+y+x e^x+y=e^x+y(1+x)
Como partial A/partial yneqpartial B/partial x, não é exata.

Passo 3

Busco um fator integrante que dependa só de x. Uso a condição
partial A/partial y - partial B/partial xB = f(x)
Calculando
(e^x+y-1)-(e^x+y+x e^x+y)x e^x+y+1 = -1 - x e^x+yx e^x+y+1 = -1,
que é função apenas de x (na verdade constante). Logo,
mu(x)=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 4

Multiplico a EDO original por mu(x)=e^-x e obtenho
(e^y - y e^-x),dx + (x e^y + e^-x),dy = 0
Chamo essas novas funções de A^*(x,y) e B^*(x,y) e confirmo exatidão:
partial A^*partial y=e^y-e^-x, partial B^*partial x=e^y-e^-x

Passo 5

Agora encontro a função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=A^*(x,y)=e^y-y e^-x
Integro em relação a x:
Phi(x,y)=integral(e^y-y e^-x),dx = x e^y + y e^-x + h(y)

Passo 6

Determino h(y) impondo
partialPhipartial y=x e^y + e^-x + h'(y) stackrel!=B^*(x,y)=x e^y+e^-x
Isso dá h'(y)=0, logo h(y)=constante
A solução implícita geral fica

Passo 7

Resposta

x e^{y} + y e^{-x} = C

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