Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(l)
(l)
Passo 1
O exercício dá a EDO
e pede pra testar exatidão, encontrar fator integrante se necessário e resolver a equação.
Passo 2
Calculo as derivadas parciais pra ver se é exata:
, então
E
Como
, não é exata.
Passo 3
Busco um fator integrante que dependa só de
. Uso a condição
Calculando
que é função apenas de
(na verdade constante). Logo,
Passo 4
Multiplico a EDO original por
e obtenho
Chamo essas novas funções de
Passo 5
Agora encontro a função potencial
tal que
Integro em relação a
Passo 6
Determino
impondo
Isso dá
A solução implícita geral fica
Passo 7
Resposta
x e^{y} + y e^{-x} = C