Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm condições iniciais. Precisamos lembrar das propriedades da transformada de funções derivadas e aplicar isso para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Vamos isolar
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para
. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Então:
Passo 5
Para encontrar
, a gente precisa fazer a Transformada de Laplace inversa de
. Vamos decompor
em frações parciais para facilitar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
substituindo valores estratégicos de
.
Passo 6
Vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora, para encontrar
, podemos comparar os coeficientes dos termos com
:
O lado esquerdo tem
, então o coeficiente de
é 0.
No lado direito:
Passo 7
Agora que temos
,
,
e
, podemos escrever:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Passo 9
Somando todos esses termos, temos a solução
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: