Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 t
y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y'' + 3y' + 2y = 4t com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 . O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm condições iniciais. Precisamos lembrar das propriedades da transformada de funções derivadas e aplicar isso para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Lt = 1s^2
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' + 3Ly' + 2Ly = L4t
Substituindo as transformadas:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - 1) + 3(s Y(s) - 0) + 2Y(s) = 4s^2
Simplificando:
s^2 Y(s) - 1 + 3s Y(s) + 2 Y(s) = 4s^2

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos que contêm Y(s) :
Y(s)(s^2 + 3s + 2) - 1 = 4s^2
Vamos isolar Y(s) :
Y(s)(s^2 + 3s + 2) = 4s^2 + 1
Y(s) = 4s^2 + 1s^2 + 3s + 2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para Y(s) . Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Y(s) = 4 + s^2s^2(s^2 + 3s + 2)
Agora, vamos fatorar o denominador s^2 + 3s + 2 :
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então:
Y(s) = 4 + s^2s^2(s + 1)(s + 2)

Passo 5

Para encontrar y(t) , a gente precisa fazer a Transformada de Laplace inversa de Y(s) . Vamos decompor Y(s) em frações parciais para facilitar:
4 + s^2s^2(s + 1)(s + 2) = As + Bs^2 + Cs + 1 + Ds + 2
Multiplicando ambos os lados por s^2(s + 1)(s + 2) :
4 + s^2 = A s(s + 1)(s + 2) + B (s + 1)(s + 2) + C s^2 (s + 2) + D s^2 (s + 1)
Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D substituindo valores estratégicos de s .

Passo 6

Vamos escolher valores de s que simplifiquem a equação:
  1. Para s = 0 :
4 + 0 = A cdot 0 cdot 1 cdot 2 + B cdot 1 cdot 2 + C cdot 0 cdot 2 + D cdot 0 cdot 1
4 = 2B Rightarrow B = 2
  1. Para s = -1 :
4 + 1 = A cdot (-1) cdot 0 cdot 1 + B cdot 0 cdot 1 + C cdot 1 cdot 1 + D cdot 1 cdot 0
5 = C Rightarrow C = 5
  1. Para s = -2 :
4 + 4 = A cdot (-2) cdot (-1) cdot 0 + B cdot (-1) cdot 0 + C cdot 4 cdot 0 + D cdot 4 cdot (-1)
8 = -4D Rightarrow D = -2
Agora, para encontrar A , podemos comparar os coeficientes dos termos com s^3 :
O lado esquerdo tem s^2 , então o coeficiente de s^3 é 0.
No lado direito:
A s^3 + outros termos Rightarrow A = 0

Passo 7

Agora que temos A = 0 , B = 2 , C = 5 e D = -2 , podemos escrever:
Y(s) = 0s + 2s^2 + 5s + 1 - 2s + 2
Simplificando:
Y(s) = 2s^2 + 5s + 1 - 2s + 2

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
L^-12s^2 = 2t
L^-15s + 1 = 5e^-t
L^-1-2s + 2 = -2e^-2t

Passo 9

Somando todos esses termos, temos a solução y(t) :
y(t) = 2t + 5e^-t - 2e^-2t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2t + 5e^-t - 2e^-2t

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