Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação e encontrar a função
. Para isso, precisaremos aplicar as propriedades da Transformada de Laplace em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial temos:
Substituindo as transformadas:
Passo 4
Agora, substituímos as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Passo 6
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Fatorando o denominador:
Passo 7
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Encontramos os valores de
,
e
substituindo valores estratégicos para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituímos
,
e
na decomposição:
Passo 10
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Passo 11
Substituindo as transformadas inversas:
Resposta
A solução da equação diferencial é: