Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=18
y(0)=1 y^prime(0)=2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y'' + 5 y' + 6 y = 18
com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação e encontrar a função y(t) . Para isso, precisaremos aplicar as propriedades da Transformada de Laplace em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Onde Y(s) é a Transformada de Laplace de y(t) .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial temos:
Ly'' + 5 y' + 6 y = L18
Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 5 [s Y(s) - y(0)] + 6 Y(s) = 18s

Passo 4

Agora, substituímos as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 2 :
s^2 Y(s) - s(1) - 2 + 5 [s Y(s) - 1] + 6 Y(s) = 18s
Simplificando:
s^2 Y(s) - s - 2 + 5s Y(s) - 5 + 6 Y(s) = 18s

Passo 5

Agrupando os termos com Y(s) :
(s^2 + 5s + 6) Y(s) - (s + 7) = 18s
Isolando Y(s) :
Y(s) = s + 7 + 18ss^2 + 5s + 6

Passo 6

Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por s :
Y(s) = s^2 + 7s + 18s(s^2 + 5s + 6)
Fatorando o denominador:
s(s + 2)(s + 3)

Passo 7

Fazemos a decomposição em frações parciais:
s^2 + 7s + 18s(s + 2)(s + 3) = As + Bs + 2 + Cs + 3
Multiplicando ambos os lados por s(s + 2)(s + 3) :
s^2 + 7s + 18 = A(s + 2)(s + 3) + B s (s + 3) + C s (s + 2)

Passo 8

Encontramos os valores de A , B e C substituindo valores estratégicos para s :
Para s = 0 :
0^2 + 7(0) + 18 = A(2)(3) implies 18 = 6A implies A = 3
Para s = -2 :
(-2)^2 + 7(-2) + 18 = B(-2)(1) implies 4 - 14 + 18 = -2B implies 8 = -2B implies B = -4
Para s = -3 :
(-3)^2 + 7(-3) + 18 = C(-3)(-1) implies 9 - 21 + 18 = 3C implies 6 = 3C implies C = 2

Passo 9

Substituímos A , B e C na decomposição:
Y(s) = 3s - 4s + 2 + 2s + 3

Passo 10

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t) :
y(t) = 3 cdot L^-11s - 4 cdot L^-11s + 2 + 2 cdot L^-11s + 3
Sabemos que:
L^-11s = 1
L^-11s + a = e^-a t

Passo 11

Substituindo as transformadas inversas:
y(t) = 3 cdot 1 - 4 e^-2 t + 2 e^-3 t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 3 - 4 e^-2 t + 2 e^-3 t

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