Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=40
y(0)=3 y^prime(0)=8

Passo 1

O problema pede para usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = 40,
com condições y(0)=3 e y'(0)=8. O conteúdo principal é a aplicação das fórmulas de transformada de Laplace em derivadas e a resolução algébrica no domínio de s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly' = s,Y(s) - y(0), Ly = Y(s), L40 = 40s,
onde Y(s)=Ly(t). Substituindo:
l(s^2Y - 3s - 8r) + 4l(sY - 3r) + 4Y = 40s

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) e em constantes:
(s^2 + 4s + 4),Y(s) - (3s + 8 + 12) = 40s Longrightarrow (s^2 + 4s + 4),Y(s) - (3s + 20) = 40s
Logo,
Y(s) = 3s + 20s^2 + 4s + 4 ;+;40s,(s^2 + 4s + 4)

Passo 4

Note que s^2+4s+4=(s+2)^2. Para inverter a transformada, escrevemos
Y(s) = 3s^2+20s+40s,(s+2)^2
e fazemos frações parciais:
Y(s) = As + Bs+2 + C(s+2)^2
Igualando numeradores:
A(s+2)^2 + B,s(s+2) + C,s = 3s^2 + 20s + 40
Dessa comparação obtemos
A = 10, B = -7, C = -6
Portanto
Y(s) = 10s - 7s+2 - 6(s+2)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
y(t) = 10,L^-1l1sr -7,L^-1l1s+2r -6,L^-1l1(s+2)^2r = 10 -7e^-2t -6,t,e^-2t

Resposta

y(t) = 10 ;-;7e^-2t;-;6,t,e^-2t

Exercícios relacionados