Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=6 e^-t
y(0)=3 y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver
y'' - 3y' + 2y = 6e^-t, y(0)=3, y'(0)=3
usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além de Le^-t=1/(s+1), e depois decompor em frações parciais para inverter.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os termos da EDO:
Ly''-3 Ly'+2 Ly = L6e^-t
Substituindo as condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=3:
(s^2Y(s)-3s-3);-;3(sY(s)-3);+;2Y(s) =6s+1

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os termos livres:
(s^2-3s+2)Y(s);-;3s-3+9 =6s+1 Longrightarrow (s^2-3s+2)Y(s)-3s+6=6s+1
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(s^2-3s+2)Y(s)=6s+1+3s-6

Passo 4

Como s^2-3s+2=(s-1)(s-2), isolamos
Y(s) =6s+1+3s-6(s-1)(s-2) =6+(3s-6)(s+1)(s+1)(s-1)(s-2) =3s(s-1)(s+1)(s-1)(s-2) =3s(s+1)(s-2)
Fazendo frações parciais
3s(s+1)(s-2)=As+1+Bs-2,
temos 3s=A(s-2)+B(s+1). Para s=2: 6=3BRightarrow B=2. Para s=-1: -3=-3ARightarrow A=1. Assim
Y(s)=1s+1+2s-2

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace:
y(t) = L^-1Y(s) = L^-1l1s+1r +2, L^-1l1s-2r =e^-t+2e^2t

Resposta

y(t)=e^-t+2e^2t

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