Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função
em cada um dos itens a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando a transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e transformadas de Laplace. Para resolver, precisamos conhecer as propriedades da transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais com condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso na equação dada:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais
e
na equação transformada:
Simplificando:
Passo 4
Agrupamos os termos com Y(s) e os constantes:
Isolamos Y(s):
Passo 5
Simplificamos o numerador:
Expandindo
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Fatoramos o denominador:
Então:
Passo 7
Dividimos termo a termo:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente utilizando tabelas de transformadas e propriedades.
Passo 8
Utilizamos a seguinte propriedade da transformada inversa:
Aplicando para cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: