Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+10 y^prime+25 y=4 e^-5 t y(0)=-2 y^prime(0)=1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' + 10 y' + 25 y = 4 e^-5 t usando a transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e transformadas de Laplace. Para resolver, precisamos conhecer as propriedades da transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Le^at = 1s - a
Aplicando isso na equação dada:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 10 (s Y(s) - y(0)) + 25 Y(s) = 4s + 5

Passo 3

Substituímos as condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 1 na equação transformada:
s^2 Y(s) - s (-2) - 1 + 10 (s Y(s) - (-2)) + 25 Y(s) = 4s + 5
Simplificando:
s^2 Y(s) + 2s - 1 + 10s Y(s) + 20 + 25 Y(s) = 4s + 5

Passo 4

Agrupamos os termos com Y(s) e os constantes:
(s^2 + 10s + 25) Y(s) + (2s + 19) = 4s + 5
Isolamos Y(s):
Y(s) = 4s + 5 - (2s + 19)s^2 + 10s + 25

Passo 5

Simplificamos o numerador:
Y(s) = 4 - (2s + 19)(s + 5)(s + 5)(s^2 + 10s + 25)
Expandindo (2s + 19)(s + 5):
2s^2 + 10s + 19s + 95 = 2s^2 + 29s + 95
Substituindo de volta:
Y(s) = 4 - 2s^2 - 29s - 95(s + 5)(s^2 + 10s + 25)
Y(s) = -2s^2 - 29s - 91(s + 5)(s^2 + 10s + 25)

Passo 6

Fatoramos o denominador:
s^2 + 10s + 25 = (s + 5)^2
Então:
Y(s) = -2s^2 - 29s - 91(s + 5)^3

Passo 7

Dividimos termo a termo:
Y(s) = -2s^2(s + 5)^3 - 29s(s + 5)^3 - 91(s + 5)^3
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente utilizando tabelas de transformadas e propriedades.

Passo 8

Utilizamos a seguinte propriedade da transformada inversa:
L^-11(s + a)^n = t^n-1 e^-a t(n-1)!
Aplicando para cada termo:
L^-1-2s^2(s + 5)^3 = -2 e^-5t
L^-1-29s(s + 5)^3 = -29 t e^-5t
L^-1-91(s + 5)^3 = -91 t^2 e^-5t2

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = -2 e^-5t - 29 t e^-5t - 912 t^2 e^-5t

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