Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+2 y^prime=8 e^-2 t y(0)=1 y^prime(0)=-6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' = 8e^-2t,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-6.
O conteúdo envolvido é transformada de Laplace aplicada a derivadas, resolução de equação algébrica em Y(s) e frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace aos dois lados. Usando
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0) e Ly' = s,Y(s) - y(0),
temos
s^2Y(s) - scdot1 -(-6) ;+;2l(sY(s)-1r) ;=;8s+2
Simplificando os termos constantes,
(s^2+2s)Y(s);-;s+6;-;2 ;=;8s+2 Longrightarrow s(s+2),Y(s) ;=;8s+2 + s - 4,
ou seja
Y(s) = 8/(s+2) + s - 4s(s+2)

Passo 3

Separe a expressão em duas frações mais simples:
Y(s) = 8s(s+2)^2 ;+;s-4s(s+2)
Para a segunda fração fazemos a decomposição
s-4s(s+2) = As + Bs+2,
onde s-4 = A(s+2)+B,s. Daí A=-2 e B=3, logo
s-4s(s+2) = -2s + 3s+2

Passo 4

Agora decomponha a primeira fração em
8s(s+2)^2 = As + Bs+2 + C(s+2)^2
Igualando 8 = A(s+2)^2 + B,s(s+2) + C,s obtém-se A=2, B=-2, C=-4. Assim
8s(s+2)^2 = 2s - 2s+2 - 4(s+2)^2
Somando com o resultado do passo anterior e simplificando,
Y(s) = l(tfrac2s-tfrac2s+2-tfrac4(s+2)^2r) -tfrac2s + tfrac3s+2 = 1s+2 - 4(s+2)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa term a term,
L^-1!ltfrac1s+2r = e^-2t, L^-1!ltfrac1(s+2)^2r = t,e^-2t,
então
y(t) = e^-2t - 4,t,e^-2t = (1-4t)e^-2t

Resposta

y(t) = (1 - 4t),e^-2t

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