Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+8 y^prime+20 y=52 e^-t y(0)=1 y^prime(0)=-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 8y' + 20y = 52e^-t,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-4, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados, usar as condições iniciais, achar Y(s)=Ly(t) e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Tomando Laplace em cada termo:
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0),
Ly' = sY(s) - y(0),
Le^-t = 1s+1
Substituindo na equação:
s^2Y - scdot1 -(-4) + 8l(sY - 1r) + 20Y = 52cdot1s+1

Passo 3

Reunindo termos em Y(s):
(s^2 + 8s + 20)Y +(-s -4)=52s+1,
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Y(s) = 52s+1+s+4s^2+8s+20 =s^2+5s+56(s+1)l(s^2+8s+20r)

Passo 4

Fazendo frações parciais sobre
s^2+5s+56(s+1)l((s+4)^2+2^2r)= As+1 + Bs+C(s+4)^2+4,
acha-se
A=4, B=-3, C=-24
Portanto
Y(s)=4s+1 ;-;3s+24(s+4)^2+4

Passo 5

Escrevendo -3s-24=-3l((s+4)-4r)-24 = -3(s+4)-12, temos
Y(s)=4s+1 ;-;3s+4(s+4)^2+2^2 ;-;121(s+4)^2+2^2
Invertendo a transformada:
L^-1!l4s+1r=4e^-t, L^-1!ls+4(s+4)^2+2^2r=e^-4tcos2t, L^-1!l1(s+4)^2+2^2r=tfrac12e^-4tsin2t
Assim
y(t)=4e^-t-3e^-4tcos2t -12cdottfrac12e^-4tsin2t =4e^-t-3e^-4tcos2t-6e^-4tsin2t

Resposta

y(t)=4e^-t-3e^-4tcos2t-6e^-4tsin2t

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