Usando transformada de Laplace, resolva as equações diferenciais para determinar a função y(t) em cada um dos itens a seguir.
y^prime prime+2 y^prime+10 y=150 t y(0)=6 y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e condições iniciais , .
O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace para converter a EDO num problema algébrico em , resolver para e então inverter a transformada.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
e que . Assim

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos conhecidos,
(s^2+2s+10)Y(s);-;(6s-3+12);=;150s^2 Longrightarrow (s^2+2s+10)Y(s)=150s^2+6s+9
Logo
Y(s)=150s^2,(s^2+2s+10);+;6s+9s^2+2s+10

Passo 4

Para inverter dfrac6s+9s^2+2s+10, note que s^2+2s+10=(s+1)^2+3^2 e
6s+9=6(s+1)+3
Então
6s+9(s+1)^2+9 =6(s+1)(s+1)^2+3^2+3(s+1)^2+3^2
inverte-se para
6e^-tcos(3t);+;e^-tsin(3t)

Passo 5

Agora faz-se frações parciais em
150s^2l((s+1)^2+9r) =As+Bs^2+Cs+D(s+1)^2+9
Igualando numeradores obtém-se A=-3, B=15, C=3, D=-9. Logo
150s^2((s+1)^2+9) =-3s+15s^2+3s-9(s+1)^2+9
Escrevendo 3s-9=3(s+1)-12, inverte para
-3;;+;15,t;+; 3e^-tcos(3t);-;4e^-tsin(3t)

Passo 6

Somando o resultado deste termo àquele do passo 4, obtemos
y(t) =l(-3+15t+3e^-tcos3t-4e^-tsin3tr) +l(6e^-tcos3t+e^-tsin3tr)
Agrupando as exponenciais:
y(t)=15,t-3+e^-tl(9cos3t-3sin3tr)

Resposta

boxedy(t)=15,t-3+e^-tl(9cos(3t)-3sin(3t)r)

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