Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial abaixo.
[2,0] y^prime prime(t)+y(t)=t, y(0)=1 e y^prime(0)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
2, y''(t) + y(t) = t
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $.
Aqui, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades da transformada para resolver para $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly(t) = Y(s)
Lt = 1s^2
Aplicando isso na equação:
2 ( s^2 Y(s) - s cdot y(0) - y'(0) ) + Y(s) = 1s^2

Passo 3

Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = -2

Passo 4

Agora, agrupamos os termos que contêm $ Y(s) $:
Y(s)
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ 2 s^2 + 1 $:
(2 s^2 + 1) Y(s) = 2 s - 4 + 1s^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que $ \frac{2 s - 4}{2 s^2 + 1} $ pode ser decomposta em frações parciais, se necessário. No entanto, para facilitar, vamos reescrever a equação completa para facilitar a aplicação da transformada inversa:
2 s - 42 s^2 + 1

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
  1. $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{2 s}{2 s^2 + 1} \right} $
  2. $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{4}{2 s^2 + 1} \right} $
  3. $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2 (2 s^2 + 1)} \right} $

Passo 7

Calculando cada termo:
  1. Para $ \frac{2 s}{2 s^2 + 1} $, fatoramos o denominador:
2 s2 s^2 + 1
Assim,
2 s^2 + 1 = 2 ( s^2 + 12 )
  1. Para $ \frac{4}{2 s^2 + 1} $:
L^-1 2 s2 s^2 + 1 = L^-1 ss^2 + 12 = cos( 1raiz2 t )
  1. Para $ \frac{1}{s^2 (2 s^2 + 1)} $, usamos frações parciais:
42 s^2 + 1
Resolvendo para A, B, C, D e aplicando a transformada inversa, obtemos:
L^-1 42 s^2 + 1 = L^-1 42 cdot 1s^2 + 12 = 2 cdot sin( 1raiz2 t )1raiz2 = 2 raiz2 sin( 1raiz2 t )

Resposta

Juntando todos os termos, a solução da equação diferencial é:
y(t) = cos( traiz2 ) - 2 raiz2 sin( traiz2 ) + 12 t - raiz22 cos( traiz2 )
Simplificando:
y(t) = 12 t + cos( traiz2 ) (1 - raiz22) - 2 raiz2 sin( traiz2 )

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