Usando a transformada de Laplace, resolva os problemas de valor inicial abaixo.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $.
Aqui, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades da transformada para resolver para $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Sabemos que:
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos que contêm $ Y(s) $:
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ 2 s^2 + 1 $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que $ \frac{2 s - 4}{2 s^2 + 1} $ pode ser decomposta em frações parciais, se necessário. No entanto, para facilitar, vamos reescrever a equação completa para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
- $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{2 s}{2 s^2 + 1} \right} $
- $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{4}{2 s^2 + 1} \right} $
- $ \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{s^2 (2 s^2 + 1)} \right} $
Passo 7
Calculando cada termo:
- Para $ \frac{2 s}{2 s^2 + 1} $, fatoramos o denominador:
Assim,
- Para $ \frac{4}{2 s^2 + 1} $:
- Para $ \frac{1}{s^2 (2 s^2 + 1)} $, usamos frações parciais:
Resolvendo para A, B, C, D e aplicando a transformada inversa, obtemos:
Resposta
Juntando todos os termos, a solução da equação diferencial é:
Simplificando: