Use o Teorema de Cauchy-Riemann (sugestão: ler a seção 21 do Churchill) para mostrar que não existe
em ponto algum se
Passo 1
O exercício pede pra usar o Teorema de Cauchy-Riemann pra mostrar que a função não é complexamente diferenciável em nenhum ponto. O conteúdo envolvido é análise de funções de variável complexa e vamos precisar escrever f em termos de partes real e imaginária e aplicar as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Escrevendo z=x+iy, temos f(z)=e^x e^{-iy}. Como e^{-iy}=\cos y - i\sin y, definimos as partes real e imaginária:
Passo 3
Calculamos agora as derivadas parciais:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann exigem
e
Substituindo, obtemos
e
Passo 5
Cada uma leva a cos y=0 e sin y=0 simultaneamente, o que é impossível. Portanto não existe ponto (x,y) onde ambas as condições se cumpram, logo f não é diferenciável em nenhum z.
Resposta
f’(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo.