Use o Teorema de Cauchy-Riemann (sugestão: ler a seção 21 do Churchill) para mostrar que não existe f^prime(z) em ponto algum se
f(z)=e^x e^-i y

Passo 1

O exercício pede pra usar o Teorema de Cauchy-Riemann pra mostrar que a função não é complexamente diferenciável em nenhum ponto. O conteúdo envolvido é análise de funções de variável complexa e vamos precisar escrever f em termos de partes real e imaginária e aplicar as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos f(z)=e^x e^{-iy}. Como e^{-iy}=\cos y - i\sin y, definimos as partes real e imaginária:
u(x,y)=e^xcos y,
v(x,y)=-e^xsin y

Passo 3

Calculamos agora as derivadas parciais:
ux=partialpartial x(e^xcos y)=e^xcos y,
uy=partialpartial y(e^xcos y)=-e^xsin y,
vx=partialpartial x(-e^xsin y)=-e^xsin y,
vy=partialpartial y(-e^xsin y)=-e^xcos y

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann exigem
ux=vy
e
uy=-vx
Substituindo, obtemos
e^xcos y=-e^xcos y
e
-e^xsin y= e^xsin y

Passo 5

Cada uma leva a cos y=0 e sin y=0 simultaneamente, o que é impossível. Portanto não existe ponto (x,y) onde ambas as condições se cumpram, logo f não é diferenciável em nenhum z.

Resposta

f’(z) não existe em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados