Prove que
é uma função harmônica. Determine
de tal modo que
seja analítica.
Passo 1
No enunciado temos u(x,y)=e^{-x}(x,sin,y - y,cos,y). O objetivo é mostrar que u é harmônica (isto é, satisfaz a equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0) e depois achar v(x,y) tal que f(z)=u+iv seja analítica, usando as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de u. De cara temos
u_x=
-e^{-x}(x\sin y - y\cos y)+e^{-x}(\sin y)
=e^{-x}\bigl((1-x)\sin y+y\cos y\bigr),
-e^{-x}(x\sin y - y\cos y)+e^{-x}(\sin y)
=e^{-x}\bigl((1-x)\sin y+y\cos y\bigr),
u_y=e^{-x}\bigl(x\cos y - \cos y + y\sin y\bigr)=e^{-x}\bigl((x-1)\cos y+y\sin y\bigr).
Passo 3
Para verificar que u é harmônica, calculamos u_{xx} e u_{yy}:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{-x}((1-x)\sin y+y\cos y)\Bigr]
=e^{-x}\bigl((x-2)\sin y - y\cos y\bigr),
=e^{-x}\bigl((x-2)\sin y - y\cos y\bigr),
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[e^{-x}((x-1)\cos y+y\sin y)\Bigr]
=e^{-x}\bigl((2-x)\sin y+y\cos y\bigr).
=e^{-x}\bigl((2-x)\sin y+y\cos y\bigr).
Somando vem u_{xx}+u_{yy}=0, logo u é harmônica.
Passo 4
Para achar o conjugado harmônico v usamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y\quade\quad u_y=-v_x.
Integramos v_y=u_x em y:
v(x,y)=\int e^{-x}\bigl((1-x)\sin y+y\cos y\bigr)dy
=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)+h(x).
=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)+h(x).
Passo 5
Finalmente impondo u_y=-v_x obtemos h’(x)=0, de modo que h é constante. Escolhendo h=0 (podemos omitir a constante), concluímos que
v(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr).
Resposta
v(x,y)=e^{-x}\bigl(x\cos y + y\sin y\bigr)