Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
2 d yd t+y=1, y(0)=-3

Passo 1

Temos o PVI 2dfracdydt+y=1, com y(0)=-3. O conteúdo usado será a transformada de Laplace de derivadas, a propriedade linear da transformada e a técnica de frações parciais para invertermos de volta ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando Ly'(t)=sY(s)-y(0) e L1=1/s obtemos:
2l(sY(s)-(-3)r)+Y(s)=1s
Ao distribuir e agrupar os termos, fica:
2sY(s)+6+Y(s)=1sLongrightarrow(2s+1)Y(s)=1s-6

Passo 3

Isolamos Y(s) e fazemos a decomposição em frações parciais. Primeiro escrevemos:
Y(s)=tfrac1s-62s+1=1s(2s+1)-62s+1
Em seguida, para 1/[s(2s+1)] temos:
1s(2s+1)=As+B2s+1, 1=A(2s+1)+Bs
Que leva a A=1 e B=-2. Logo
Y(s)=l(1s-22s+1r)-62s+1=1s-82s+1
Também podemos reescrever 8/(2s+1)=4/(s+1/2).

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace. Lembrando que L^-11/s=1 e L^-11/(s+a)=e^-at, temos:
y(t)=L^-1Y(s)=1-4e^-tfract2
Podemos confirmar que y(0)=1-4=-3, batendo com a condição inicial.

Resposta

y(t)=1-4e^-t/2

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