Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
Temos o PVI
, com
. O conteúdo usado será a transformada de Laplace de derivadas, a propriedade linear da transformada e a técnica de frações parciais para invertermos de volta ao domínio do tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando
e
obtemos:
Ao distribuir e agrupar os termos, fica:
Passo 3
Isolamos
e fazemos a decomposição em frações parciais. Primeiro escrevemos:
Em seguida, para
temos:
Que leva a
e
. Logo
Também podemos reescrever
.
Passo 4
Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace. Lembrando que
e
, temos:
Podemos confirmar que
, batendo com a condição inicial.