Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
, use
Passo 1
Vamos calcular a integral
usando uma substituição: o conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar expressar
e
em termos da nova variável
.
Passo 2
Fazendo a substituição
:
e
Agora transformamos o denominador
:
Passo 3
Substituindo tudo na integral original:
Aqui usamos a propriedade de frações e simplificações.
Passo 4
Agora basta integrar:
é a antiderivada em função de
t .
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original:
t=e^-x . Substituindo:
Podemos reescrever também como
x-ln(e^x+1)+C , mas ambas são equivalentes.
Resposta
-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr)+C