Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
integral d xe^x+1, use x=-ln (t)

Passo 1

Vamos calcular a integral integral dxe^x+1 usando uma substituição: o conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar expressar dx e e^x em termos da nova variável t.

Passo 2

Fazendo a substituição x=-ln(t):
dx=-1t,dt
e
e^x=e^-ln(t)=1t
Agora transformamos o denominador e^x+1:
e^x+1=1t+1=1+tt

Passo 3

Substituindo tudo na integral original:
integral dxe^x+1=integral -1t,dt1+tt = -integral dt1+t
Aqui usamos a propriedade de frações e simplificações.

Passo 4

Agora basta integrar:
-integral dt1+t=-lnl|1+tr|+C
é a antiderivada em função de t.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original: t=e^-x. Substituindo:
-lnl(1+e^-xr)+C
Podemos reescrever também como x-ln(e^x+1)+C, mas ambas são equivalentes.

Resposta

-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr)+C

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