Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^prime prime+9 y=e^t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI y'' + 9y = e^t com y(0)=0 e y'(0)=0 usando transformada de Laplace. O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares pelo método da transformada, e vamos precisar das propriedades Ly' e Ly'' e da tabela básica de (\mathcal{L}{e^{at}},,\mathcal{L}{\cos bt},,\mathcal{L}{\sin bt}.

Passo 2

Aplicamos Laplace nos dois lados da equação. Em bloco temos:
Ly'' + 9Ly = Le^t
Como y(0)=0 e y'(0)=0,
(s^2Y(s)-scdot0 -0) + 9Y(s) = 1s-1,
oprime para
(s^2 +9)Y(s) = 1s-1

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = 1(s-1)(s^2+9)

Passo 4

Para inverter precisamos de frações parciais. Assumimos
1(s-1)(s^2+9) = As-1 + Bs + Cs^2+9
Multiplicando e agrupando termos obtemos o sistema:
A+B = 0, C - B = 0, 9A - C =1
Daí A=1/10, B=-1/10, C=-1/10.

Passo 5

Reescrevendo Y(s) com esses valores:
Y(s) = 1/10s-1 - 1/10,s + 1/10s^2+9 = 1101s-1 - 110ss^2+9 - 1101s^2+9

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-11/(s-1) = e^t,
L^-1s/(s^2+9) = cos(3t),
L^-11/(s^2+9) = 13sin(3t)
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y(t) = 110e^t - 110cos(3t) - 130sin(3t)

Resposta

y(t) = 110e^t - 110cos(3t) - 130sin(3t)

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