Calcule as integrais abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(1 - 2x^2 sec (5x^3)) dx. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo de Integrais, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas e substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 1 , dx - 2 integral x^2 sec(5x^3) , dx
A primeira parte, integral 1 , dx, é bem direta. A segunda parte vai precisar de um pouco mais de atenção.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral 1 , dx = x + C
Onde C é a constante de integração. Mas vamos focar na segunda integral agora.

Passo 4

Para a segunda integral, 2 integral x^2 sec(5x^3) , dx, vamos usar a substituição. Vamos definir:
u = 5x^3
Assim, precisamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 15x^2 Rightarrow du = 15x^2 dx
Rearranjando, temos:
x^2 dx = du15

Passo 5

Agora, substituímos na integral:
2 integral x^2 sec(5x^3) , dx = 2 integral sec(u) cdot du15 = 215 integral sec(u) , du
A integral de sec(u) é conhecida:
integral sec(u) , du = ln|sec(u) + tan(u)| + C

Passo 6

Então, substituindo de volta para x:
215 ln|sec(u) + tan(u)| + C = 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que resolvemos:
x - 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C

Resposta

Portanto, a integral integral(1 - 2x^2 sec (5x^3)) dx é igual a:
x - 215 ln|sec(5x^3) + tan(5x^3)| + C

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