Desprezando a resistência do ar, a velocidade inicial v necessária para que um foguete lançado para cima a partir da superfície da terra atinja uma altura máxima h é dada por V=raiz2 gR+(hh+R), onde g é a aceleração da gravidade (que é igual a 9,8 m / s^2, aproximadamente) e R é o raio da terra (que é igual a 6,38 times 10^6 no equador). Calcule a velocidade necessária para que o foguete não volte à terra, conhecida como velocidade de escape.

Passo 1

O problema quer a velocidade de escape, isto é, a velocidade inicial que faz o foguete alcançar altura infinita (h→∞) sem voltar. O conteúdo aqui é conservação de energia mecânica num campo gravitacional não uniforme e usaremos o conceito de limite.

Passo 2

A fórmula geral que relaciona a velocidade inicial v com a altura máxima h (obtida pela conservação de energia) é
v(h)=raiz2,g,R;hR+h
Para não retornar à Terra, fazemos h→∞.

Passo 3

Como h→∞, o quociente hR+h tende a 1. Portanto,
vesc=raiz2,g,Rcdot 1=raiz2,g,R

Passo 4

Agora basta substituir os valores numéricos de g e R: g=9,8 m/s² e R=6,38×10⁶ m. Fazendo as contas:
2,g,R=2times9,8times6,38times10^6approx1,25048times10^8
vesc=raiz1,25048times10^8approx1,1183times10^4 m/s

Resposta

A velocidade de escape é aproximadamente 1,12times10^4 m/s, isto é, cerca de 11,2 km/s.

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