Usando um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e lado
, mostre que
Passo 1
A questão quer mostrar que para um valor x entre 0 e 1 (para o triângulo), vale a relação
. O conteúdo aqui é definição de funções trigonométricas inversas e geometria de triângulo retângulo; vamos usar um triângulo de hipotenusa 1 e cateto de comprimento
.
Passo 2
Desenhamos um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 e um dos catetos mede
. O outro cateto, pela relação de Pitágoras, tem comprimento
. Denotamos por
o ângulo agudo oposto ao cateto de comprimento
, então por definição
e assim
.
No mesmo triângulo, o ângulo complementar a vamos chamar de
. Esse
é o ângulo cujo cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, ou seja,
. Logo,
.
No mesmo triângulo, o ângulo complementar a
Passo 3
Em qualquer triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são complementares, isto é, se chamam
e
, então
. Substituindo
e
obtemos exatamente
Resposta
\displaystyle \sin{-1}(x)+\cos{-1}(x)=\frac{\pi}{2}