Usando um triângulo retângulo de hipotenusa 1 e lado x, mostre que
sen^-1(x)+cos ^-1(x)=pi2

Passo 1

A questão quer mostrar que para um valor x entre 0 e 1 (para o triângulo), vale a relação sin^-1(x)+cos^-1(x)=pi/2. O conteúdo aqui é definição de funções trigonométricas inversas e geometria de triângulo retângulo; vamos usar um triângulo de hipotenusa 1 e cateto de comprimento x.

Passo 2

Desenhamos um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 1 e um dos catetos mede x. O outro cateto, pela relação de Pitágoras, tem comprimento raiz1 - x^2. Denotamos por alpha o ângulo agudo oposto ao cateto de comprimento x, então por definição sin(alpha)=x e assim alpha=sin^-1(x).
No mesmo triângulo, o ângulo complementar a alpha vamos chamar de beta. Esse beta é o ângulo cujo cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, ou seja, cos(beta)=x. Logo, beta=cos^-1(x).

Passo 3

Em qualquer triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são complementares, isto é, se chamam alpha e beta, então alpha+beta=pi/2. Substituindo alpha=sin^-1(x) e beta=cos^-1(x) obtemos exatamente
sin^-1(x)+cos^-1(x)=pi2

Resposta

\displaystyle \sin{-1}(x)+\cos{-1}(x)=\frac{\pi}{2}

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