Verifique que os sistemas têm uma única solução e encontre a solução, usando a regra de Cramer:
Resolva também os sistemas colocando uma variável em função das outras, usando uma das equações do sistema, e substituindo essa variável pela relação encontrada nas outras equações para obter um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas. Qual é o método mais prático?
Passo 1
O enunciado pede a solução do sistema
x + 2y - z = 1, -,x + 3y + 2z = 3, 2x - y + z = 2
usando a regra de Cramer — que consiste em calcular determinantes — e também resolver por substituição, expressando uma variável em função das outras e reduzindo a um sistema 2times2. Para isso, vamos precisar lembrar que, para um sistema 3times3, a regra de Cramer diz
x = DxD, y = DyD, z = DzD,
onde D é o determinante da matriz de coeficientes e Dx,Dy,Dz são determinantes obtidos substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes.
Passo 2
Vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes
x = DxD = 1620 = 45, y = DyD = 1220 = 35, z = DzD = 2020 = 1
Passo 4
Agora, pelo método de substituição, escolho a primeira equação para isolar
Substituo em (2) e (3):
Em (2):
Em (3):
Isso gera o sistema
cuja solução é . Voltando em , obtemos .
Passo 5
Ambos os métodos confirmam a mesma solução l(x,y,zr) = l(tfrac45,tfrac35,1r). Para um sistema 3times3 pequeno, a substituição costuma ser mais prática porque evita o cálculo de vários determinantes, enquanto a regra de Cramer é mais mecânica e já generaliza bem para teoria, mas pode ser mais trabalhosa na prática.
Resposta
A solução única é
(x,y,z) = l(tfrac45, tfrac35, 1r)
O método de substituição (reduzir a um sistema 2times2) é geralmente mais prático para sistemas pequenos como este.