Verifique que os sistemas têm uma única solução e encontre a solução, usando a regra de Cramer:
lx+2 y-z=1 -x+3 y+2 z=3 2 x-y+z=2
Resolva também os sistemas colocando uma variável em função das outras, usando uma das equações do sistema, e substituindo essa variável pela relação encontrada nas outras equações para obter um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas. Qual é o método mais prático?

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
x + 2y - z = 1, -,x + 3y + 2z = 3, 2x - y + z = 2
usando a regra de Cramer — que consiste em calcular determinantes — e também resolver por substituição, expressando uma variável em função das outras e reduzindo a um sistema 2times2. Para isso, vamos precisar lembrar que, para um sistema 3times3, a regra de Cramer diz
x = DxD, y = DyD, z = DzD,
onde D é o determinante da matriz de coeficientes e Dx,Dy,Dz são determinantes obtidos substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes.

Passo 2

Vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes
D = det 1 & 2 & -1 -1 & 3 & 2 2 & -1 & 1
Expandindo pela primeira linha,
D = 1l(3cdot1 - 2cdot(-1)r) -2l((-1)cdot1 - 2cdot2r) +(-1)l((-1)cdot(-1) - 3cdot2r)
Isso dá
D = 1,(3+2);-;2,(-1-4);+;(-1),(1-6) =5 +10 +5 =20

Passo 3

Agora os determinantes Dx,Dy,Dz:
  1. Dx: trocando a 1ª coluna por (1,3,2),
Dx = det 1 & 2 & -1 3 & 3 & 2 2 & -1 & 1 =1,(3cdot1-2cdot(-1)) -2,(3cdot1-2cdot2) +(-1),(3cdot(-1)-3cdot2) =16
  1. Dy: trocando a 2ª coluna por (1,3,2),
Dy = det 1 & 1 & -1 -1 & 3 & 2 2 & 2 & 1 =12
  1. Dz: trocando a 3ª coluna por (1,3,2),
Dz = det 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 3 2 & -1 & 2 =20
Logo, pela regra de Cramer,
x = DxD = 1620 = 45, y = DyD = 1220 = 35, z = DzD = 2020 = 1

Passo 4

Agora, pelo método de substituição, escolho a primeira equação para isolar
Substituo em (2) e (3):
Em (2):
Em (3):
Isso gera o sistema
cuja solução é . Voltando em , obtemos .

Passo 5

Ambos os métodos confirmam a mesma solução l(x,y,zr) = l(tfrac45,tfrac35,1r). Para um sistema 3times3 pequeno, a substituição costuma ser mais prática porque evita o cálculo de vários determinantes, enquanto a regra de Cramer é mais mecânica e já generaliza bem para teoria, mas pode ser mais trabalhosa na prática.

Resposta

A solução única é
(x,y,z) = l(tfrac45, tfrac35, 1r)
O método de substituição (reduzir a um sistema 2times2) é geralmente mais prático para sistemas pequenos como este.

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