Verdadeiro ou Falso.
( ) O campo
F(x, y, z)=3 x y^2 z^2 i+2 x^2 y z^3 j+3 x^2 y^2 z^2 k
é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente dizer se o campo vetorial F(x, y, z) = 3x y^2 z^2 i + 2x^2 y z^3 j + 3x^2 y^2 z^2 k é conservativo ou não. Isso envolve o conceito de campo conservativo da matéria de cálculo vetorial. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber calcular as derivadas parciais e verificar se o campo satisfaz certas condições de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y, z) $ tal que $ \vec{F} = \nabla \phi $. Isso implica que o rotacional de $ \vec{F} $ deve ser igual a zero, ou seja, $ \nabla \times \vec{F} = \vec{0} $.

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de $ \vec{F} $. O rotacional é dado por:
F

Passo 4

Vamos calcular cada componente:
  1. Para $ \vec{i} $:
i
partial Fzpartial y = partialpartial y (3x^2 y^2 z^2) = 6x^2 y z^2
Então, $ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = 6x^{2} y z^{2} - 6x^{2} y z^{2} = 0 $
  1. Para $ \vec{j} $:
partial Fypartial z = partialpartial z (2x^2 y z^3) = 6x^2 y z^2
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 6x^2 y z^2 - 6x^2 y z^2 = 0
Então, $ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = 6x y^{2} z - 6x y^{2} z^{2} $
  1. Para $ \vec{k} $:
j
partial Fxpartial z = partialpartial z (3x y^2 z^2) = 6x y^2 z
Então, $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 4x y z^{3} - 6x y z^{2} $

Passo 5

Agora, juntando tudo, o rotacional de $ \vec{F} $ fica:
F

Passo 6

Para o campo ser conservativo, todas essas componentes precisam ser zero:
  1. Já vimos que a componente $ \vec{i} $ é zero.
  2. A componente $ \vec{j} $ só será zero se $ 6x y^{2} z - 6x y^{2} z^{2} = 0 $, ou seja, $ z(1 - z) = 0 $. Isso só ocorre se $ z = 0 $ ou $ z = 1 $, mas queremos que valha para todo $ z $.
  3. A componente $ \vec{k} $ só será zero se $ 4x y z^{3} - 6x y z^{2} = 0 $, ou seja, $ z^{2}(4z - 6) = 0 $. Novamente, isso só ocorre para $ z = 0 $ ou $ z = \frac{3}{2} $, mas precisamos que seja verdade para qualquer $ z $.

Passo 7

Como o rotacional de $ \vec{F} $ não é nulo em geral, o campo não é conservativo.

Resposta

Falso. O campo $ \vec{F} $ não é conservativo.

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