Verdadeiro ou Falso.
( ) O campo
é conservativo.
( ) O campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente dizer se o campo vetorial
é conservativo ou não. Isso envolve o conceito de campo conservativo da matéria de cálculo vetorial. Pra resolver isso, a gente vai precisar saber calcular as derivadas parciais e verificar se o campo satisfaz certas condições de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi(x, y, z) $ tal que $ \vec{F} = \nabla \phi $. Isso implica que o rotacional de $ \vec{F} $ deve ser igual a zero, ou seja, $ \nabla \times \vec{F} = \vec{0} $.
Passo 3
Então, vamos calcular o rotacional de $ \vec{F} $. O rotacional é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada componente:
- Para $ \vec{i} $:
Então, $ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = 6x^{2} y z^{2} - 6x^{2} y z^{2} = 0 $
- Para $ \vec{j} $:
Então, $ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = 6x y^{2} z - 6x y^{2} z^{2} $
- Para $ \vec{k} $:
Então, $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 4x y z^{3} - 6x y z^{2} $
Passo 5
Agora, juntando tudo, o rotacional de $ \vec{F} $ fica:
Passo 6
Para o campo ser conservativo, todas essas componentes precisam ser zero:
- Já vimos que a componente $ \vec{i} $ é zero.
- A componente $ \vec{j} $ só será zero se $ 6x y^{2} z - 6x y^{2} z^{2} = 0 $, ou seja, $ z(1 - z) = 0 $. Isso só ocorre se $ z = 0 $ ou $ z = 1 $, mas queremos que valha para todo $ z $.
- A componente $ \vec{k} $ só será zero se $ 4x y z^{3} - 6x y z^{2} = 0 $, ou seja, $ z^{2}(4z - 6) = 0 $. Novamente, isso só ocorre para $ z = 0 $ ou $ z = \frac{3}{2} $, mas precisamos que seja verdade para qualquer $ z $.
Passo 7
Como o rotacional de $ \vec{F} $ não é nulo em geral, o campo não é conservativo.
Resposta
Falso. O campo $ \vec{F} $ não é conservativo.