Verdadeiro ou Falso.
( ) O trabalho realizado pela força
F(x, y)=2(x-y) i+2(3 y-x) j
para deslocar um corpo do ponto (1,0) ao ponto (2,1) por qualquer que seja o caminho C ligando esses dois pontos é igual a W=4[J].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta se o trabalho realizado por uma força específica, F(x, y) = 2(x - y) i + 2(3y - x) j, ao mover um corpo do ponto (1,0) para (2,1) por qualquer caminho C, é igual a W = 4 , J. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre trabalho realizado por forças e se essa força é conservativa, ou seja, se o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a força F é conservativa. Uma força é conservativa se a derivada cruzada (ou rotacional) dela for zero. Calculando o rotacional de F:
rot , F = partial Fypartial x - partial Fxpartial y
Onde Fx = 2(x - y) e Fy = 2(3y - x). Calculando as derivadas parciais:
partial Fypartial x = partialpartial x[2(3y - x)] = -2
partial Fxpartial y = partialpartial y[2(x - y)] = -2
Então,
rot , F = -2 - (-2) = 0
Como o rotacional é zero, a força F é conservativa. Isso significa que o trabalho realizado depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Como a força é conservativa, podemos encontrar uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi. Vamos encontrar phi:
partial phipartial x = 2(x - y) Rightarrow phi = x^2 - 2xy + h(y)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos a Fy:
partial phipartial y = -2x + h'(y) = 2(3y - x)
-2x + h'(y) = 6y - 2x Rightarrow h'(y) = 6y Rightarrow h(y) = 3y^2 + C
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2

Passo 4

Agora, calculamos o trabalho W usando a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
W = phi(2,1) - phi(1,0)
Calculando phi(2,1):
phi(2,1) = (2)^2 - 2 cdot 2 cdot 1 + 3 cdot (1)^2 = 4 - 4 + 3 = 3
Calculando phi(1,0):
phi(1,0) = (1)^2 - 2 cdot 1 cdot 0 + 3 cdot (0)^2 = 1 - 0 + 0 = 1
Então,
W = 3 - 1 = 2 , J

Resposta

Falso.

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