Uma amostra de gás se expande segundo um processo AB , no qual A é o estado inicial com pressão de 10 Pa e volume de 1,0 \mathrm{~m}^{3}, e B é o estado final com pressão de 32 Pa e volume de 2,0 \mathrm{~m}^{3}. A pressão varia com o volume segundo a relação p=4,0 V+6 V^{2}, com a pressão dada em Pascal e o volume em \mathrm{m}^{3}. Durante a expansão, o gás absorve 40 J de calor. Calcule a variação da energia interna durante esse processo.
Para calcular a variação da energia interna durante o processo, precisamos obter o trabalho
\begin{aligned} W & =\int p d V \\\ W & =\int_{V_{1}}^{V_{2}}\left(4 V+6 V^{2}\right) d V \\\ W & =20 \mathrm{~J} \end{aligned}
e a variação de energia interna é igual a
\Delta E_{\mathrm{int}}=20 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado descreve uma expansão de um gás do estado A para o estado B, em que \,V_{1}=1,0\:\mathrm{m}^{3}, \,p_{1}=10\:\mathrm{Pa}, \,V_{2}=2,0\:\mathrm{m}^{3}, \,p_{2}=32\:\mathrm{Pa},
e a pressão varia com o volume segundo
p(V)=4\,V+6\,V^{2},
além disso o gás absorve \,Q=40\:\mathrm{J}.
Para encontrar a variação da energia interna \Delta E_{\mathrm{int}} vamos usar:
  1. Cálculo do trabalho
  2. Primeira lei da termodinâmica

Passo 2

O trabalho realizado pelo gás em um processo quasistático é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV.
Substituindo p(V)=4V+6V^{2}, temos
W=\int_{1,0}^{2,0}\bigl(4V+6V^{2}\bigr)\,dV =\int_{1,0}^{2,0}4V\,dV+\int_{1,0}^{2,0}6V^{2}\,dV.
Calculando as primitivas:
\int4V\,dV=2V^{2}, \quad \int6V^{2}\,dV=2V^{3},
logo
W=\bigl[\,2V^{2}+2V^{3}\bigr]_{1,0}^{2,0} =\bigl(2\cdot2,0^{2}+2\cdot2,0^{3}\bigr)-\bigl(2\cdot1,0^{2}+2\cdot1,0^{3}\bigr) =24-4=20\:\mathrm{J}.

Passo 3

Pela primeira lei da termodinâmica vale
\Delta E_{\mathrm{int}}=Q-W,
onde Q=40\:\mathrm{J} (calor absorvido) e W=20\:\mathrm{J}. Portanto
\Delta E_{\mathrm{int}}=40-20=20\:\mathrm{J}.

Resposta

A variação da energia interna do gás é \Delta E_{\mathrm{int}}=20\:\mathrm{J}.

Exercícios relacionados