Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais:
integral (2 x-1)(x+2)^2(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 2x-1(x+2)^2(x^2+1),dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais de funções racionais e depois uso de antiderivadas conhecidas (logaritmo, arctan e potenciais). Vamos precisar lembrar as fórmulas: antiderivada de 1/(x+a), de 1/(x+a)^2, de x/(x^2+1) e de 1/(x^2+1).

Passo 2

Proponho a decomposição
2x-1(x+2)^2(x^2+1)=Ax+2+B(x+2)^2+Cx+Dx^2+1
Multiplico ambos os lados por (x+2)^2(x^2+1) e igualo polinômios:
$$
2x-1=A(x+2)(x2+1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x+2)^2.
$$

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de x obtemos o sistema:
A+C=0, 2A+B+4C+D=0, A+4C+4D=2, 2A+B+4D=-1

Passo 4

Escolhendo convenientemente e resolvendo, achamos
A=-tfrac25, B=-1, C=tfrac25, D=tfrac15

Passo 5

Logo a integral vira
integrall(-tfrac2/5x+2-tfrac1(x+2)^2+tfrac2/5,x+1/5x^2+1r)dx
Agora aplicamos antiderivadas conhecidas:
- Para integraldxx+2=ln|x+2|+C.
- Para integraldx(x+2)^2=-(x+2)^-1+C.
- Para integralx,dxx^2+1=tfrac12ln(x^2+1)+C.
- Para integraldxx^2+1=arctan(x)+C.
Fazendo as constantes multiplicativas, obtemos cada termo:
$$
-\tfrac{2}{5}\ln|x+2|+\tfrac{1}{x+2}+\tfrac{1}{5}\ln(x^2+1)+\tfrac{1}{5}\arctan(x)+C.
$$

Resposta

-\tfrac{2}{5}\ln|x+2|+\tfrac{1}{x+2}+\tfrac{1}{5}\ln(x^2+1)+\tfrac{1}{5}\arctan(x)+C

Exercícios relacionados