Usando frações parciais, resolver as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando frações parciais. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais de funções racionais e depois uso de antiderivadas conhecidas (logaritmo, arctan e potenciais). Vamos precisar lembrar as fórmulas: antiderivada de
, de
, de
e de
.
Passo 2
Proponho a decomposição
Multiplico ambos os lados por
$$
2x-1=A(x+2)(x2+1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x+2)^2.
$$
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em potências de
obtemos o sistema:
Passo 4
Escolhendo convenientemente e resolvendo, achamos
Passo 5
Logo a integral vira
Agora aplicamos antiderivadas conhecidas:
- Para
- Para
- Para
- Para
Fazendo as constantes multiplicativas, obtemos cada termo:
$$
-\tfrac{2}{5}\ln|x+2|+\tfrac{1}{x+2}+\tfrac{1}{5}\ln(x^2+1)+\tfrac{1}{5}\arctan(x)+C.
$$
Resposta
-\tfrac{2}{5}\ln|x+2|+\tfrac{1}{x+2}+\tfrac{1}{5}\ln(x^2+1)+\tfrac{1}{5}\arctan(x)+C