Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro, o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais disponíveis. Levando isso em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.
Use a calculadora para fazer a conta
. Se você anotar o resultado mostrado no visor em um papel e elevá-lo ao quadrado, você encontrará o número 2 novamente?
Use a calculadora para fazer a conta
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao usar a calculadora para calcular
, anotar no papel o valor que aparece no visor (uma aproximação decimal com todas as casas que o visor mostra) e então elevar esse valor ao quadrado, você obterá novamente o número
.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): \n
Informações dadas (explícitas ou implícitas): \n
- A calculadora mostra no visor uma representação decimal finita de
(apenas as casas disponíveis no visor). \n - Você anota exatamente o que o visor mostra (ou seja, um número com fim decimal) e executa a operação “elevar ao quadrado” sobre esse número anotado. \n
- A pergunta pede que a gente responda e justifique se o resultado será exatamente
ou não.
Passo 2
Entender que tipo de número a calculadora mostra: qualquer número com um número finito de casas decimais é um número racional. Vou explicar isso devagar. \n
- Um número com fim decimal, por exemplo
ou , pode ser escrito como uma fração de inteiros (por exemplo ). Nesses casos dizemos que o número é racional. \n - A raiz quadrada de
, ou seja , é um número irracional: não pode ser expresso como fração com inteiros . Vou dar a prova clássica curta (por contradição), porque é útil e simples. \n
Prova: suponha quecom inteiros sem fator comum. Então . Assim é par, logo é par; escreva . Então implica , logo também é par. Isso contradiz a hipótese de sem fatores comuns. Portanto é irracional. \n
Conclusão deste passo: o número verdadeironão pode ser exatamente representado por um decimal finito. Logo o que o visor mostra (um decimal finito) não é exatamente .
Passo 3
Modelar a situação com notação e erro: \n
- Seja
o valor exato. \n - Seja
o número que aparece no visor — ou seja, o decimal finito que você anota. Então existe um erro tal que
Aqui
é a diferença entre o que você anotou e o valor exato
. Como
é finito e
irracional, temos
. \n
Observação sobre tamanho de : se o visor mostra
casas decimais depois da vírgula e o valor é arredondado, então
. Se o visor simplesmente trunca,
. Esta estimativa é importante para saber quão pequeno é o erro.
Observação sobre tamanho de
Passo 4
Calcular o quadrado do número anotado e expressar o erro resultante: \n
Elevar ao quadrado dá
Elevar
Como
, obtemos
A diferença entre
e
é, portanto,
Interpretação: o erro no quadrado vem de duas partes. A principal é
(proporcional ao erro original
) e há um termo secundário
(muito menor quando
é pequeno).
Passo 5
Estimar a ordem de grandeza desse erro para ver se pode ser zero: \n
- Como
, temos em geral. Assim não será exatamente . \n - Usando a estimativa de arredondamento
(se é o número de casas decimais mostradas), obtemos um limite superior para o erro absoluto:
Como
, o termo dominante é da ordem de
. Logo o desvio de
é muito pequeno quando
é grande, mas tipicamente não zero.
Passo 6
Exemplo numérico concreto (para ficar mais palpável): \n
- Suponha que o visor mostre
casas decimais e aparece (isto é, você anotou exatamente ). Esta é uma hipótese razoável para muitas calculadoras de bolso. \n - O valor exato é
. Então
- O termo dominante do erro ao quadrado é
- Assim
Portanto, elevando ao quadrado o número anotado no papel obtemos algo muito próximo de
mas diferente de
(neste exemplo deu
).
Passo 7
Argumento teórico final e muito direto: \n
- Qualquer número com um número finito de casas decimais é racional. \n
- Se um decimal finito
satisfizesse , então seria racional, o que contradiz a prova clássica de que é irracional. \n
Logo é impossível que o número anotado no papel (um decimal finito) ao quadrado seja exatamente.
Passo 8
Observações práticas e de bom astral (você consegue!): \n
- Na prática, o quadrado da aproximação mostrada pela calculadora ficará extremamente próximo de
— tantas casas decimais corretas quanto o visor ou o arredondamento permitirem. Isso é suficiente para a grande maioria das aplicações. \n - Um detalhe: se você apertar a tecla de elevar ao quadrado dentro da própria calculadora sem anotar nada, a calculadora pode usar internamente mais dígitos (maior precisão) do que os que aparecem no visor. Nesse caso o resultado no visor da operação
pode aparecer como por arredondamento do resultado, mas isso não significa que o decimal finito anotado por você ao quadrado fosse exatamente . \n - Moral: a razão matemática (irracionalidade de
) garante que nenhuma representação decimal finita, quando elevada ao quadrado, dará exatamente .
Resposta
Não. Ao elevar ao quadrado a aproximação decimal finita mostrada no visor você obterá um número muito próximo de
mas, em geral, diferente de
; isso decorre do fato de que
é irracional, logo nenhuma decimal finita ao quadrado pode ser exatamente
.