Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro, o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais disponíveis. Levando isso em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.
Use a calculadora para fazer a conta \sqrt{2}. Se você anotar o resultado mostrado no visor em um papel e elevá-lo ao quadrado, você encontrará o número 2 novamente?

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao usar a calculadora para calcular \sqrt{2}, anotar no papel o valor que aparece no visor (uma aproximação decimal com todas as casas que o visor mostra) e então elevar esse valor ao quadrado, você obterá novamente o número \,2.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): \n
  • A calculadora mostra no visor uma representação decimal finita de \sqrt{2} (apenas as casas disponíveis no visor). \n
  • Você anota exatamente o que o visor mostra (ou seja, um número com fim decimal) e executa a operação “elevar ao quadrado” sobre esse número anotado. \n
  • A pergunta pede que a gente responda e justifique se o resultado será exatamente \,2 ou não.

Passo 2

Entender que tipo de número a calculadora mostra: qualquer número com um número finito de casas decimais é um número racional. Vou explicar isso devagar. \n
  • Um número com fim decimal, por exemplo 1,4142 ou 1,25, pode ser escrito como uma fração de inteiros (por exemplo 1,25=\tfrac{125}{100}=\tfrac{5}{4}). Nesses casos dizemos que o número é racional. \n
  • A raiz quadrada de 2, ou seja \sqrt{2}, é um número irracional: não pode ser expresso como fração \tfrac{p}{q} com inteiros p,q. Vou dar a prova clássica curta (por contradição), porque é útil e simples. \n
    Prova: suponha que \sqrt{2}=\tfrac{p}{q} com p,q inteiros sem fator comum. Então p^2=2q^2. Assim p^2 é par, logo p é par; escreva p=2k. Então 4k^2=2q^2 implica q^2=2k^2, logo q também é par. Isso contradiz a hipótese de p,q sem fatores comuns. Portanto \sqrt{2} é irracional. \n
    Conclusão deste passo: o número verdadeiro \sqrt{2} não pode ser exatamente representado por um decimal finito. Logo o que o visor mostra (um decimal finito) não é exatamente \sqrt{2}.

Passo 3

Modelar a situação com notação e erro: \n
  • Seja x=\sqrt{2} o valor exato. \n
  • Seja d o número que aparece no visor — ou seja, o decimal finito que você anota. Então existe um erro \delta tal que
d = x + \delta.
Aqui \delta é a diferença entre o que você anotou e o valor exato \sqrt{2}. Como d é finito e x irracional, temos \delta\neq 0. \n
Observação sobre tamanho de \delta: se o visor mostra k casas decimais depois da vírgula e o valor é arredondado, então |\delta|\le 0,5\cdot 10^{-k}. Se o visor simplesmente trunca, |\delta|<10^{-k}. Esta estimativa é importante para saber quão pequeno é o erro.

Passo 4

Calcular o quadrado do número anotado e expressar o erro resultante: \n
Elevar d ao quadrado dá
d^2 = (x+\delta)^2 = x^2 + 2x\delta + \delta^2.
Como x^2=2, obtemos
d^2 = 2 + 2x\delta + \delta^2.
A diferença entre d^2 e 2 é, portanto,
d^2 - 2 = 2x\delta + \delta^2.
Interpretação: o erro no quadrado vem de duas partes. A principal é 2x\delta (proporcional ao erro original \delta) e há um termo secundário \delta^2 (muito menor quando \delta é pequeno).

Passo 5

Estimar a ordem de grandeza desse erro para ver se pode ser zero: \n
  • Como \delta\neq 0, temos 2x\delta + \delta^2\neq 0 em geral. Assim d^2 não será exatamente 2. \n
  • Usando a estimativa de arredondamento |\delta|\le 0,5\cdot10^{-k} (se k é o número de casas decimais mostradas), obtemos um limite superior para o erro absoluto:
|d^2-2|\le 2|x||\delta|+\delta^2 \le 2|x|\left(0,5\cdot10^{-k}\right) + \left(0,5\cdot10^{-k}\right)^2.
Como x=\sqrt{2}\approx 1,4142, o termo dominante é da ordem de 10^{-k}. Logo o desvio de 2 é muito pequeno quando k é grande, mas tipicamente não zero.

Passo 6

Exemplo numérico concreto (para ficar mais palpável): \n
  • Suponha que o visor mostre k=9 casas decimais e aparece d=1,414213562 (isto é, você anotou exatamente \,1,414213562). Esta é uma hipótese razoável para muitas calculadoras de bolso. \n
  • O valor exato é x\approx1,4142135623730951. Então
\delta = d-x \approx -0,0000000003730951 \approx -3,730951\times10^{-10}.
  • O termo dominante do erro ao quadrado é
2x\delta \approx 2\cdot1,414213562\cdot(-3,730951\times10^{-10}) \approx -1,055\times10^{-9}.
  • Assim
d^2 \approx 2 - 1,055\times10^{-9} \approx 1,999999998945.
Portanto, elevando ao quadrado o número anotado no papel obtemos algo muito próximo de 2 mas diferente de 2 (neste exemplo deu 1,999999998945).

Passo 7

Argumento teórico final e muito direto: \n
  • Qualquer número com um número finito de casas decimais é racional. \n
  • Se um decimal finito d satisfizesse d^2=2, então d=\sqrt{2} seria racional, o que contradiz a prova clássica de que \sqrt{2} é irracional. \n
    Logo é impossível que o número anotado no papel (um decimal finito) ao quadrado seja exatamente 2.

Passo 8

Observações práticas e de bom astral (você consegue!): \n
  • Na prática, o quadrado da aproximação mostrada pela calculadora ficará extremamente próximo de 2 — tantas casas decimais corretas quanto o visor ou o arredondamento permitirem. Isso é suficiente para a grande maioria das aplicações. \n
  • Um detalhe: se você apertar a tecla de elevar ao quadrado dentro da própria calculadora sem anotar nada, a calculadora pode usar internamente mais dígitos (maior precisão) do que os que aparecem no visor. Nesse caso o resultado no visor da operação (\sqrt{2})^2 pode aparecer como 2,000000000 por arredondamento do resultado, mas isso não significa que o decimal finito anotado por você ao quadrado fosse exatamente 2. \n
  • Moral: a razão matemática (irracionalidade de \sqrt{2}) garante que nenhuma representação decimal finita, quando elevada ao quadrado, dará exatamente 2.

Resposta

Não. Ao elevar ao quadrado a aproximação decimal finita mostrada no visor você obterá um número muito próximo de 2 mas, em geral, diferente de 2; isso decorre do fato de que \sqrt{2} é irracional, logo nenhuma decimal finita ao quadrado pode ser exatamente 2.

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