Ao usar uma calculadora de bolso para fazer uma conta cujo resultado não é um número inteiro, o visor mostrará uma aproximação desse resultado, usando todas as casas decimais disponíveis. Levando isso em conta, responda as perguntas a seguir, justificando suas respostas.
Use a calculadora para fazer a conta 1 \div 3. Se você anotar o resultado mostrado no visor em um papel e multiplicá-lo por 3 , você encontrará o número 1 novamente?
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao fazer \,1\div 3 numa calculadora de bolso, anotar o número que aparece no visor e depois multiplicar esse número por 3, você voltará a obter exatamente 1.
Informação dada: a calculadora mostra uma aproximação do resultado, com um número finito de casas decimais (ou seja, ela não mostra todas as infinitas casas de uma dízima periódica).
Passo 2
Vamos lembrar qual é o valor exato de \,1\div 3. Escrevendo em decimal:
\frac{1}{3}=0,333\ldots=0,\overline{3},
ou seja, a expansão decimal tem infinitas casas iguais a 3. Isso significa que o número exato \frac{1}{3} não pode ser escrito com um número finito de casas decimais em base 10.
Passo 3
A calculadora mostra apenas um número finito de casas decimais. Chamemos de N o número de casas que o visor apresenta. O valor mostrado pela calculadora é uma aproximação finita que vou denotar por \tilde x. Existem duas formas comuns de obter \tilde x:
truncamento (chop): \tilde x= parte de 0,\underbrace{33\ldots3}_{N} obtida cortando as casas após N;
arredondamento: \tilde x é 0,\underbrace{33\ldots3}_{N} com a última casa possivelmente ajustada por arredondamento.
Em qualquer dos casos definimos o erro
\varepsilon=\tilde x-\frac{1}{3}.
Esse erro é pequeno, mas não nulo: \varepsilon\neq 0 porque \frac{1}{3} não tem representação decimal finita. Para arredondamento temos o limite
|\varepsilon|\le \tfrac{1}{2}\cdot 10^{-N},
e para truncamento
0>\varepsilon\ge -10^{-N}.
Passo 4
Agora multiplico a aproximação mostrada pela calculadora por 3. Usando \tilde x=\frac{1}{3}+\varepsilon :
Como \varepsilon\neq 0, então em geral 3\tilde x\neq 1. O produto será um número muito próximo de 1, mas deslocado por 3\varepsilon.
Passo 5
Vou dar um exemplo concreto para ficar claro. Suponha que o visor mostre N=9 casas e apareça 0,333333333. Esse \tilde x é uma aproximação de \frac{1}{3}. Multiplicando:
3\cdot 0,333333333 = 0,999999999,
que não é exatamente 1. Se você escrever 0,333333333 no papel e multiplicar por 3 de forma exata, obterá 0,999999999, não 1.
Passo 6
Observação importante sobre displays e arredondamento: dependendo de como a calculadora arredonda ao mostrar os resultados, ao multiplicar internamente por 3 a calculadora pode calcular com maior precisão e então arredondar o produto para o visor mostrando exatamente 1,000000000. Mas isso é um efeito do arredondamento do visor do segundo cálculo; não significa que a aproximação escrita no papel multiplicada por 3 seja exatamente 1. Em suma: escrever o que o visor mostra e multiplicar no papel geralmente não devolve 1; só o visor da calculadora pode, por arredondamento do resultado, vir a mostrar 1.
Resposta
Não. Em geral você obterá um número muito próximo de 1 (por exemplo 0,999999999), mas não exatamente 1.