Sem usar uma calculadora, determine
e^{\ln _{e}(8)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se determinar, sem calculadora, o valor da expressão \,e^{\ln_{e}(8)}.
  • Informação útil dada: o número 8 é positivo, portanto \ln_{e}(8) está bem definido.

Passo 2

Definição e propriedade básica (aulas rápidas e claras).
  • A função exponencial de base e é \,x\mapsto e^{x}, definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A função logaritmo natural é \,x\mapsto \ln_{e}(x), definida para x>0.
  • Essas duas são funções inversas: isto significa que, para todo x>0,
e^{\ln_{e}(x)}=x
e para todo y\in\mathbb{R},
\ln_{e}\bigl(e^{y}\bigr)=y.
  • Explicando devagar: dizer \,y=\ln_{e}(x) significa, por definição, que \,e^{y}=x. A composição de uma função com sua inversa devolve o valor original.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao problema concreto.
  • Seja \,y=\ln_{e}(8). Pela definição do logaritmo natural temos \,e^{y}=8.
  • Portanto
e^{\ln_{e}(8)}=e^{y}=8.

Passo 4

Observações finais e dica para prova.
  • A simplificação usou apenas a propriedade de inversão entre e^{(\cdot)} e \ln_{e}(\cdot); nenhum cálculo numérico complicado é necessário.
  • Sempre confira que o argumento do \ln é positivo (aqui 8>0), caso contrário a expressão não seria válida.

Resposta

8

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