Sem usar uma calculadora, determine
e^{\ln (1 / 3)}

Passo 1

O que o problema pede: calcular sem calculadora o valor de e^{\ln(1/3)}.
Informações e observações fornecidas:
  • A expressão é e^{\ln(1/3)}.
  • Aqui \ln significa logaritmo natural (logaritmo na base e).
  • Note que a entrada do \ln é 1/3, que é positiva (logo \ln(1/3) está bem definida).

Passo 2

Entendendo a relação entre e^x e \ln x (a peça-chave):
Por definição, \ln a é o número que satisfaz e^{\ln a}=a para qualquer a>0. Isso quer dizer que a função exponencial e^x e a função \ln x são inversas: aplicar uma depois da outra traz de volta o número original. Um exemplo simples: e^{\ln 5}=5.
Aplicando essa ideia diretamente à expressão pedida: se tomamos a=1/3, então
e^{\ln(1/3)} = 1/3.

Passo 3

Mostrar o mesmo resultado por manipulação de propriedades dos logaritmos (para ver outra via):
Usa-se a propriedade \ln(a/b)=\ln a - \ln b. Assim
\ln(1/3)=\ln 1 - \ln 3.
Como \ln 1 = 0, segue \ln(1/3) = -\ln 3. Então
e^{\ln(1/3)} = e^{-\ln 3}.
Usando a regra dos expoentes e^{-x}=1/e^{x} e a propriedade inversa e^{\ln 3}=3, obtemos
e^{-\ln 3} = \frac{1}{e^{\ln 3}} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Resumo didático rápido para a prova (fórmula que vale decorar): para a>0,
e^{\ln a}=a\quad\text{e}\quad \ln(e^x)=x.
Isso resolve rapidamente expressões como a do enunciado sem cálculo numérico.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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