Use uma calculadora científica e a regra de mudança de base para obter valores aproximados de
\log _{6}(1 / 12)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pergunta: calcular um valor aproximado de \log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right) usando a regra de mudança de base e uma calculadora científica.
  • Informação dada: o argumento do logaritmo é \tfrac{1}{12} e a base é 6.
  • Objetivo prático para a prova: transformar o logaritmo numa razão de logaritmos numa base que a calculadora calcula (por exemplo \ln ou \log_{10}) e então calcular numericamente.

Passo 2

Usar uma propriedade simples de logaritmos para simplificar antes de calcular: a propriedade \log(a/b)=\log a - \log b. Aplicando a \log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right) temos:
\log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=\log_{6}(1)-\log_{6}(12).
Como \log_{6}(1)=0, isso reduz para
\log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=-\log_{6}(12).

Passo 3

Apresentar a regra de mudança de base (que é o que a calculadora usa): para quaisquer bases positivas a\neq1 e b\neq1 e x>0,
\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)},
onde \ln é o logaritmo natural (a mesma ideia vale trocando \ln por \log_{10}). Aqui \ln(x) significa o logaritmo natural de x (a função que as calculadoras científicas têm como tecla “ln”). Cada símbolo significa:
  • a: base original do logaritmo (aqui a=6);
  • x: argumento do logaritmo (aqui x=12);
  • \ln(\cdot): logaritmo natural (base e).
Aplicando isso em \log_{6}(12) obtemos
\log_{6}(12)=\frac{\ln(12)}{\ln(6)}.
Portanto
\log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=-\frac{\ln(12)}{\ln(6)}.

Passo 4

Usar a calculadora científica para obter \ln(12) e \ln(6). Ao usar a calculadora obteve-se (valores com muitas casas significativas):
\ln(12)=2,4849066497880004, \qquad \ln(6)=1,7917594692280550.
Obs.: estes números vieram diretamente da tecla \ln da calculadora aplicada a 12 e 6.

Passo 5

Dividir os valores na calculadora para obter \dfrac{\ln(12)}{\ln(6)}, e lembrar do sinal negativo que tínhamos:
\frac{\ln(12)}{\ln(6)}=\frac{2,4849066497880004}{1,7917594692280550}=1,3868528072345416\ldots
Logo
\log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=-1,3868528072345416\ldots
Na prática de prova, normalmente basta dar o valor arredondado. Arredondando para 6 casas decimais:
\log_{6}\!\left(\tfrac{1}{12}\right)\approx -1,386853.

Resposta

-1,386853

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