Sem usar calculadora, determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
.
Observações importantes retiradas do enunciado: o símbolo não teve a base explicitada. Vou assumir a convenção mais comum em exercícios elementares (e em muitas provas):
é o logaritmo decimal, isto é, base
. Se a base fosse outra (por exemplo
), o procedimento algébrico é o mesmo, mas o valor numérico final difere por um fator constante — vou comentar isso no final.
Observações importantes retiradas do enunciado: o símbolo
Passo 2
Lembra da propriedade básica dos logaritmos (produtividade)? Ela diz que, para qualquer base fixa e para
,
,
Vou justificar rapidamente por que isso é verdade: se
e
, então por definição da função logaritmo temos
e
(aqui usei base
, mas a argumentação vale para qualquer base). Multiplicando,
. Tomando logaritmo dos dois lados resulta
. Pronto — propriedade comprovada e pronta para usar.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao caso dado:
Passo 4
Calcule o produto dentro do logaritmo:
Logo
Passo 5
Use agora a propriedade do logaritmo de potência: para qualquer
e qualquer
,
Como
, temos
Passo 6
Assumindo que
é o logaritmo decimal (base
), vale
. Portanto
Conclusão:
(na base
).
Passo 7
Comentário final rápido: se a notação
tivesse significado natural (base
), o resultado algébrico intermediário seria
, ou seja
— é a mesma manipulação, só que não dá um número tão simples quanto
nesse caso.
Resposta
2