Sem usar uma calculadora, determine
Passo 1
O enunciado pede para determinar, sem usar calculadora, o valor de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é a raiz quinta de
, isto é .
O que se quer: o valor numérico exato de.
Passo 2
Entender a relação entre radicais e potências. Regra: a raiz
-ésima de uma potência pode ser escrita como potência com expoente fracionário. Mais precisamente, para
, inteiros
e
,
Explicando por que isso é verdade: a potência
é definida de modo que, ao elevarmos essa potência a
, devemos recuperar
:
Como a
-ésima raiz de
é justamente o número que ao elevar à potência
dá
, segue que
.
Exemplo concreto e simples: e também
; aqui
e
.
Exemplo concreto e simples:
Passo 3
Aplicar a regra ao nosso argumento. Temos
. Usando a regra com
,
,
,
Isso transforma o radical em uma potência com expoente fracionário, o que facilita usar propriedades de logaritmo.
Passo 4
Lembrar a definição e propriedade fundamental do logaritmo. Definição: para
,
, e
,
Propriedade útil: se o argumento do logaritmo é uma potência da própria base, ou seja
, então
porque por definição o expoente que faz
elevado a esse número dar
é justamente
.
Passo 5
Aplicar a propriedade ao nosso caso. Já vimos que
. Então
Usando
, obtemos
Alternativa (mesma ideia, via propriedades de logaritmo):