Sem usar a Proposição 4.5, determine se os pontos A, B e C dados (em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXYZ) são colineares ou não.
A=(1,0,-1), B=(3,-1,1), C=(-4,2,-4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos A=(1,0,-1), B=(3,-1,1) e C=(-4,2,-4) são colineares em R^3. Em geometria vetorial, três pontos são colineares se, e somente se, os vetores AB e AC forem paralelos (um múltiplo escalar um do outro).

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (3-1,;-1-0,;1-(-1)) = (2,,-1,,2),
AC = C - A = (-4-1,;2-0,;-4-(-1)) = (-5,;2,;-3)

Passo 3

Para testar paralelismo, procuramos um escalar k tal que
AC = k,AB
Comparando componentes:
pelo x: k = -52 = -2,5,
pelo y: k = 2-1 = -2.
Como -2,5 neq -2, não existe escalar k que satisfaça todas as três componentes simultaneamente. Logo AB e AC não são paralelos, e os pontos não são colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares.

Exercícios relacionados