Sem usar a Proposição 4.5, determine se os pontos A, B e C dados (em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXYZ) são colineares ou não.
A=(0,0,1), B=(0,-1,1), C=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos em R^3:
A=(0,0,1), B=(0,-1,1) e C=(1,0,1).
Queremos saber se eles estão sobre uma mesma reta. Como todos têm a coordenada z=1, eles pertencem ao plano horizontal z=1, e podemos analisar a colinearidade projetando-os no plano (x,y).

Passo 2

Projetando no plano z=1, definimos
A'=(0,0), B'=(0,-1) e C'=(1,0).
Agora o problema é verificar se C' está sobre a reta determinada por A' e B'.

Passo 3

Para achar a reta A'B', note que
xA'=0 e xB'=0,
logo todos os pontos dessa reta têm x=0. Em outras palavras, a reta é vertical e sua equação é
x=0

Passo 4

No ponto C'=(1,0) temos xC'=1neq0. Portanto C' não pertence à reta x=0. Concluímos que A', B' e C' não são colineares em R^2 e, por consequência, A, B e C também não são colineares em R^3.

Resposta

Os pontos A, B e C não são colineares.

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