Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
x d y=(x+y) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x\,dy = (x + y)\,dx
Esse tipo de equação é homogênea (a razão \tfrac{dy}{dx} depende só de y/x), e vamos usar a substituição
y = x\,v(x)
onde v é uma nova função de x.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e por x, obtemos
\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{y}{x}.

Passo 3

Com a substituição y = x\,v, calculamos
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação obtida no Passo 2 resulta
v + x\,\frac{dv}{dx} = 1 + v.

Passo 4

Cancelando v dos dois lados, fica
x\,\frac{dv}{dx} = 1
ou seja
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos em ambos os lados:
\int dv = \int \frac{1}{x}\,dx
resultando em
v = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original, como v = \tfrac{y}{x}, temos
\frac{y}{x} = \ln\lvert x\rvert + C
e, multiplicando por x:
y = x\,\ln\lvert x\rvert + C\,x.

Resposta

A solução geral é
y = x\,\ln\lvert x\rvert + C\,x,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados