Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada:
Usando o teorema de Gauss, determine o fluxo do campo vetorial \vec{f}(x, y, z)=(-3 y, 3 x, 2) e S é parte do plano z=1 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec f(x,y,z)=(-3y,3x,2)
através da superfície S, que é o disco z=1 com x^2+y^2\le9.
Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para o volume V fechado por uma superfície \partial V orientada para fora,
\iint_{\partial V}\vec f\cdot\vec n\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec f)\,dV.
Precisaremos fechar a superfície S adicionando o disco de base S_1\colon z=0,\;x^2+y^2\le9 e a parte lateral cilíndrica S_2\colon x^2+y^2=9,\;0\le z\le1.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec f:
\nabla\cdot\vec f =\frac{\partial}{\partial x}(-3y) +\frac{\partial}{\partial y}(3x) +\frac{\partial}{\partial z}(2) =0+0+0 =0.
Portanto
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec f)\,dV=0.
Logo, o fluxo total sobre a superfície fechada \partial V=S\cup S_1\cup S_2 é zero:
\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS +\iint_{S_1}\vec f\cdot\vec n\,dS +\iint_{S_2}\vec f\cdot\vec n\,dS =0.

Passo 3

Calcular o fluxo através do disco inferior S_1.
Em S_1 temos z=0 e a normal exterior ao volume V é \vec n=-\hat k.
Logo
\vec f\cdot\vec n =( -3y,3x,2)\cdot(0,0,-1) =-2.
Como S_1 é o disco de raio 3, seu área é \pi\cdot3^2=9\pi, então
\iint_{S_1}\vec f\cdot\vec n\,dS =\iint_{S_1}(-2)\,dS =-2\cdot9\pi =-18\pi.

Passo 4

Calcular o fluxo através da parte lateral S_2.
Em S_2 temos x^2+y^2=9. A normal exterior é
\vec n=(x/3,y/3,0).
Então
\vec f\cdot\vec n =(-3y,3x,2)\cdot\bigl(\tfrac{x}{3},\tfrac{y}{3},0\bigr) =-y x + x y +0 =0.
Dessa forma
\iint_{S_2}\vec f\cdot\vec n\,dS=0.

Passo 5

Usando a soma dos fluxos ser zero:
\iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS +(-18\pi) +0 =0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}\vec f\cdot\vec n\,dS =18\pi.

Resposta

18\pi

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