Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada:
Usando o teorema de Gauss, determine o fluxo do campo vetorial
e S é parte do plano
dentro do cilindro
.
Usando o teorema de Gauss, determine o fluxo do campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície , que é o disco
com
.
Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para o volume fechado por uma superfície
orientada para fora,
através da superfície
Vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para o volume
Precisaremos fechar a superfície
adicionando o disco de base
e a parte lateral cilíndrica
.
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Portanto
Logo, o fluxo total sobre a superfície fechada
é zero:
Passo 3
Calcular o fluxo através do disco inferior
.
Em temos
e a normal exterior ao volume
é
.
Logo
Em
Logo
Como
é o disco de raio
, seu área é
, então
Passo 4
Calcular o fluxo através da parte lateral
.
Em temos
. A normal exterior é
.
Então
Em
Então
Dessa forma
Passo 5
Usando a soma dos fluxos ser zero: