Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(x+y) d x+(x-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+y)\,dx + (x-y)\,dy = 0
usando uma substituição apropriada. Trata-se de uma equação de primeira ordem que pode ser simplificada por uma mudança de variáveis lineares.

Passo 2

Definimos as novas variáveis
u = x + y, \quad v = x - y.
Diferenciando, obtemos
du = dx + dy, \quad dv = dx - dy.
Resolvendo esse sistema para dx e dy, vem
dx = \frac{du + dv}{2}, \quad dy = \frac{du - dv}{2}.

Passo 3

Substituindo dx e dy na equação original:
(x+y)\,dx + (x-y)\,dy = u\frac{du+dv}{2} + v\frac{du-dv}{2} = \frac12\bigl((u+v)\,du + (u-v)\,dv\bigr) =0.
Portanto, em u,v, a equação fica
(u+v)\,du + (u-v)\,dv = 0.

Passo 4

Notamos que
d\!\Bigl(\tfrac{u^2 - v^2}{2} + uv\Bigr) = (u+v)\,du + (u-v)\,dv,
logo a equação é exata e sua integral primeira é
\tfrac{u^2 - v^2}{2} + uv = C.

Passo 5

Voltando a x e y, temos u=x+y e v=x-y. Então
\tfrac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{2} + (x+y)(x-y) = C.
Como (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy e (x+y)(x-y)=x^2 - y^2, resulta
2xy + x^2 - y^2 = C.

Resposta

A solução implícita geral é
x^2 + 2xy - y^2 = C.

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