Usar o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfície.
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y \operatorname{sen} z, y^{3}+z \operatorname{sen} x, z^{3}\right) e S a superfície do sólido W limitado pelos hemisférios z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e pelo plano z=0.)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\displaystyle \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
para
\displaystyle \vec F(x,y,z)=(x^{3}+y\operatorname{sen} z,\;y^{3}+z\operatorname{sen} x,\;z^{3})
sobre a superfície fechada S que limita o sólido W definido por
\;1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4, z\ge0.
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que converte o fluxo de superfície num integral triplo do divergente de \vec F sobre W.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\!\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y\operatorname{sen} z) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+z\operatorname{sen} x) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} =3(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência de Gauss,
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{W}\bigl(\nabla\!\cdot\vec F\bigr)\,dV =\iiint_{W}3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV.

Passo 4

Para integrar sobre W, usamos coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com
\rho de 1 a 2,
\varphi de 0 a \tfrac{\pi}{2} (semiesfera superior),
\theta de 0 a 2\pi.
Em esféricas,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Então
\iiint_{W}3\rho^{2}\,dV =3\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\!\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{1}^{2}\rho^{2}\cdot\rho^{2}\,d\rho =3\,(2\pi)\,(1)\int_{1}^{2}\rho^{4}\,d\rho.

Passo 5

Calculamos
\displaystyle \int_{1}^{2}\rho^{4}\,d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{2} =\tfrac{32}{5}-\tfrac{1}{5} =\tfrac{31}{5}.
Logo o fluxo é
3\cdot2\pi\cdot\tfrac{31}{5} =\frac{186\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{186\pi}{5}

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