Usar o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfície.
, sendo
e
a superfície do sólido
limitado pelos hemisférios
e pelo plano
.)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
para
sobre a superfície fechada que limita o sólido
definido por
,
.
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que converte o fluxo de superfície num integral triplo do divergente de sobre
.
para
sobre a superfície fechada
O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que converte o fluxo de superfície num integral triplo do divergente de
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência de Gauss,
Passo 4
Para integrar sobre
, usamos coordenadas esféricas:
com
de
a
,
de
a
(semiesfera superior),
de
a
.
Em esféricas,
e
.
Então
Em esféricas,
Então
Passo 5
Calculamos
Logo o fluxo é
Logo o fluxo é