Usar o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfície.
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, \quad sendo \vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}+\cos z, x^{2} y+\operatorname{sen} z, e^{y}\right) e S a superfície do sólido W limitado pelo pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=4.)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS
da campo \vec F(x,y,z)=(x y^{2}+\cos z,\;x^{2}y+\sin z,\;e^{y}) pela superfície S que é a fronteira do sólido W limitado pelo parabolóide z=x^{2}+y^{2} e pelo plano z=4.
Conteúdo: Teorema da Divergência de Gauss, que diz
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\iiint_{W}\bigl(\nabla\cdot\vec F\bigr)\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec F:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}+\cos z) +\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y+\sin z) +\frac{\partial}{\partial z}(e^{y}) =y^{2}+x^{2}+0 =x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV.

Passo 4

Passamos a coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
No sólido W temos 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi, r^{2}\le z\le4.
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\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{z=r^{2}}^{4}r^{2}\,(r\,dz\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{r^{2}}^{4}r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em z:
\int_{r^{2}}^{4}r^{3}\,dz =r^{3}\bigl(4 - r^{2}\bigr).
Depois em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^{3}(4-r^{2})\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}(4r^{3}-r^{5})\,dr =2\pi\Bigl[\,4\frac{r^{4}}{4}-\frac{r^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{2} =2\pi\bigl(16-\tfrac{64}{6}\bigr) =2\pi\cdot\tfrac{16}{3} =\tfrac{32\pi}{3}.

Resposta

\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS \;=\;\frac{32\pi}{3}.

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