Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
através de
, com
exterior a superfície.
onde
, com
,
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e a superfície aberta
que é o hemisfério de raio
com
. Pede-se o fluxo de
através de
com a normal exterior ao volume abaixo de
. Vamos usar o Teorema da Divergência e fechar
adequadamente.
Passo 2
Fechamos
adicionando o disco
orientado para baixo, de modo que
seja a superfície fechada que envolve o semi-bol de raio
em
.
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
onde
é o semiespaço sólido abaixo de
. Calculamos
Então
Passo 4
Agora avaliamos o fluxo em
. Em
temos
, logo
, e a normal exterior ao volume inferior é
. Assim
logo
Passo 5
Voltando ao Teorema da Divergência,
Resposta
O fluxo de
através de
é
.