Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vec{F} através de S, com vec{n} exterior a superfície.
vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) onde S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, com z \leq 0,

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) e a superfície aberta S que é o hemisfério de raio a com z\le0. Pede-se o fluxo de \vec{F} através de S com a normal exterior ao volume abaixo de S. Vamos usar o Teorema da Divergência e fechar S adequadamente.

Passo 2

Fechamos S adicionando o disco
D=\{(x,y,0)\mid x^2+y^2\le a^2\}
orientado para baixo, de modo que S\cup D seja a superfície fechada que envolve o semi-bol de raio a em z\le0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;+\;\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{W}(\nabla\!\cdot\!\vec{F})\,dV,
onde W é o semiespaço sólido abaixo de z=0. Calculamos
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =3.
Então
\iiint_{W}3\,dV =3\cdot\bigl(\vol\text{ do hemi-bola}\bigr) =3\cdot\frac{2}{3}\,\pi a^3 =2\pi a^3.

Passo 4

Agora avaliamos o fluxo em D. Em D temos z=0, logo \vec{F}=(x,y,0), e a normal exterior ao volume inferior é \vec{n}=(0,0,-1). Assim
\vec{F}\cdot\vec{n} =(x,y,0)\cdot(0,0,-1)=0,
logo
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=0.

Passo 5

Voltando ao Teorema da Divergência,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =2\pi a^3 - 0 =2\pi a^3.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através de S é 2\pi a^3.

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