Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo
através de
, com
exterior a superfície.
onde
, com
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a superfície aberta
dada por
queremos o fluxo de
através de
com a normal apontando para fora do volume. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície fechada ao integral triplo da divergência sobre o volume interno.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Divergência, fechamos
acrescentando o disco
de modo que o volume
seja
Na superfície
a normal exterior (para fora de
) é
.
Passo 3
Calculemos a divergência de
:
Os dois primeiros termos são zero (não dependem de
e de
, respectivamente), e
Logo
. Pelo Teorema da Divergência,
Passo 4
Calculamos o volume de
em coordenadas cartesianas por integração em
:
Portanto
Passo 5
Agora o fluxo através do disco
. Em
,
e
, então
Assim
Passo 6
Pelo Teorema da Divergência
Substituindo o fluxo em
, vem