Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vec{F} através de S, com vec{n} exterior a superfície.
vec{F}(x, y, z)=\left(z \operatorname{arctg}\left(y^{2}\right), z^{3} \ln \left(x^{2}+1\right), z\right) onde S: z=2-x^{2}-y^{2}, com 1 \leq z \leq 2.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=\bigl(z\,\arctan(y^2),\;z^3\ln(x^2+1),\;z\bigr)
e a superfície aberta S dada por
z=2 - x^2 - y^2, \quad 1 \le z\le 2,
queremos o fluxo de \vec F através de S com a normal apontando para fora do volume. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície fechada ao integral triplo da divergência sobre o volume interno.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, fechamos S acrescentando o disco
S_1:\;z=1,\quad x^2+y^2\le1,
de modo que o volume E seja
E=\bigl\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le2-z,\;1\le z\le2\bigr\}.
Na superfície S_1 a normal exterior (para fora de E) é \vec n_1=(0,0,-1).

Passo 3

Calculemos a divergência de \vec F:
\div\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z\arctan(y^2)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^3\ln(x^2+1)\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(z).
Os dois primeiros termos são zero (não dependem de x e de y, respectivamente), e
\frac{\partial}{\partial z}(z)=1.
Logo \div\vec F=1. Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S\cup S_1}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{E}1\,dV.

Passo 4

Calculamos o volume de E em coordenadas cartesianas por integração em z:
\Vol(E) =\int_{z=1}^{2}\Bigl(\text{área do disco }x^2+y^2\le2-z\Bigr)\,dz =\int_{1}^{2}\pi(2-z)\,dz =\pi\bigl[2z-\tfrac12z^2\bigr]_{1}^{2} =\frac{\pi}{2}.
Portanto
\iiint_{E}1\,dV=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora o fluxo através do disco S_1. Em z=1,
\vec F=(\arctan(y^2),\ln(x^2+1),1) e \vec n_1=(0,0,-1), então
\vec F\cdot\vec n_1 = -1.
Assim
\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n_1\,dS =\iint_{x^2+y^2\le1}(-1)\,dA =-\pi.

Passo 6

Pelo Teorema da Divergência
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS +\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n_1\,dS =\frac{\pi}{2}.
Substituindo o fluxo em S_1, vem
\iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS - \pi = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}\vec F\cdot\vec n\,dS = \frac{3\pi}{2}.

Resposta

\boxed{\frac{3\pi}{2}}

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