Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(e^x^2 d x+(x+z) d y+(2 x-z) d z), onde C é o contorno da parte do plano x+2 y+z=4 que está no 1^circ octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCl(e^x^2,dx+(x+z),dy+(2x-z),dzr),
onde C é o contorno da superfície S dada pelo plano
x+2y+z=4
no primeiro octante, orientado no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,
com F=(P,Q,R)=(e^x^2,,x+z,,2x-z).

Passo 2

Calculamos o rotor de F:
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,, partial Ppartial z-partial Rpartial x,, partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Como
partial R/partial y=0, partial Q/partial z=1,
partial P/partial z=0, partial R/partial x=2,
partial Q/partial x=1, partial P/partial y=0,
segue
nablatimesF=(-1,,-2,,1)

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico de
;z=4-x-2y,
com (x,y) variando no triângulo
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+2y<=4
A parametrização é
r(x,y)=(x,;y,;4-x-2y), (x,y)in D

Passo 4

Calculamos os vetores parciais e o vetor normal orientado:
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-2),
rxtimesry = i&j&k 1&0&-1 0&1&-2 =(1,2,1)
Escolhemos este normal porque, pelo Regra da Mão Direita, ele faz com que a orientação induzida em C seja anti-horário segundo o enunciado.

Passo 5

O integrando fica
(nablatimesF)cdot(rxtimesry) =(-1,-2,1)cdot(1,2,1)=-1-4+1=-4
Como é constante,
integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =integral duplaD-4,dA =-4;Área(D) Á
O triângulo D tem vértices (0,0), (4,0), (0,2), logo
Área(D)=tfrac12cdot4cdot2=4 Á
Portanto
ointCFcdot dr =-4cdot4=-16

Resposta

-16

Exercícios relacionados