Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o contorno da parte do plano
que está no
octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o contorno da superfície
dada pelo plano
no primeiro octante, orientado no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
com
.
Passo 2
Calculamos o rotor de
:
Como
,
,
,
,
,
,
segue
segue
Passo 3
Parametrizamos
como gráfico de
,
com variando no triângulo
com
A parametrização é
Passo 4
Calculamos os vetores parciais e o vetor normal orientado:
Escolhemos este normal porque, pelo Regra da Mão Direita, ele faz com que a orientação induzida em
C seja anti-horário segundo o enunciado.
Passo 5
O integrando fica
Como é constante,
O triângulo
D tem vértices
(0,0) ,
(4,0) ,
(0,2) , logo
Portanto