Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0 ; \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y^{(4)} - 4y^{\prime\prime\prime} + 6y^{\prime\prime} -4y^{\prime} + y = 0,
com condições
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=1.
O conteúdo envolvido é aplicação da propriedade de transformada de Laplace em derivadas e a técnica de manipulação algébrica para isolar Y(s), seguido de inversão da transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace a cada termo usando
\mathcal L\bigl[y^{(n)}(t)\bigr] = s^{n}Y(s) - s^{n-1}y(0) - \cdots - y^{(n-1)}(0).
Isso gera
s^{4}Y(s) - s^{2}\underbrace{y'(0)}_{1} - \underbrace{y'''(0)}_{1} -4\bigl(s^{3}Y(s) - s\,y'(0)\bigr) +6\bigl(s^{2}Y(s) - y'(0)\bigr) -4\bigl(sY(s)\bigr) + Y(s) = 0.
Substituindo y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0,y'''(0)=1 e arrumando os termos constantes, obtemos uma equação em Y(s).

Passo 3

Agrupando os coeficientes de Y(s) e das constantes, chega-se a
\bigl(s^{4}-4s^{3}+6s^{2}-4s+1\bigr)Y(s) \;+\;\bigl(-s^{2}-1+4s-6\bigr) =0,
ou seja
(s-1)^{4}Y(s) = s^{2}-4s+7 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s^{2}-4s+7}{(s-1)^{4}}.

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos o deslocamento u=s-1, assim
s^{2}-4s+7 = (u+1)^{2}-4(u+1)+7 = u^{2}-2u+4
e
Y(s)=\frac{u^{2}}{u^{4}} \;-\;2\,\frac{u}{u^{4}} \;+\;4\,\frac{1}{u^{4}} = \frac{1}{u^{2}} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{4}{u^{4}}, \quad u=s-1.
Sabendo que
\mathcal L\bigl[t\,e^{t}\bigr]=\frac{1}{(s-1)^{2}},\quad \mathcal L\bigl[\tfrac{t^{2}}{2}e^{t}\bigr]=\frac{1}{(s-1)^{3}},\quad \mathcal L\bigl[\tfrac{t^{3}}{6}e^{t}\bigr]=\frac{1}{(s-1)^{4}},
obtemos invertendo termo a termo:
y(t) = e^{t}\Bigl(t\Bigr) \;-\;2\,e^{t}\Bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr) \;+\;4\,e^{t}\Bigl(\tfrac{t^{3}}{6}\Bigr).

Passo 5

Simplificando cada coeficiente:
y(t) = \bigl(t - t^{2} + \tfrac{2}{3}t^{3}\bigr)\,e^{t}.
Verifica-se que essa solução satisfaz as condições iniciais dadas.

Resposta

y(t) = \bigl(t - t^{2} + \tfrac{2}{3}t^{3}\bigr)\,e^{t}.

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