Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO
com as condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui é usar a propriedade linear da transformada de Laplace, as fórmulas
O conteúdo aqui é usar a propriedade linear da transformada de Laplace, as fórmulas
e depois inverter a transformada via frações parciais e tabela de transformadas.
Passo 2
Aplicando
em ambos os lados, obtemos
Substituindo as condições iniciais e sabendo que
, vem
Passo 3
Agrupando os termos em
e os constantes:
isto é,
Então
Passo 4
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando por
e igualando coeficientes, achamos
Logo
Para inverter, note que
Passo 5
Usando tabela de transformadas:
Portanto a solução no domínio do tempo é