Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial proposto.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=5 ; \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a EDO
y'' + 4y' + 5y = 5,
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.
O conteúdo aqui é usar a propriedade linear da transformada de Laplace, as fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
e depois inverter a transformada via frações parciais e tabela de transformadas.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados, obtemos
\mathcal{L}\{y''\} + 4\mathcal{L}\{y'\} + 5\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{5\}.
Substituindo as condições iniciais e sabendo que \mathcal{L}\{5\}=5/s, vem
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-1\bigr) +4\bigl(sY(s)-1\bigr) +5Y(s)=\frac{5}{s}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os constantes:
(s^2+4s+5)Y(s) -\bigl(s+1+4\bigr)=\frac{5}{s},
isto é,
(s^2+4s+5)Y(s)-(s+5)=\frac{5}{s}.
Então
Y(s)=\frac{\frac{5}{s} + (s+5)}{s^2+4s+5} =\frac{s^2+5s+5}{s\,(s^2+4s+5)}.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais:
\frac{s^2+5s+5}{s(s^2+4s+5)} =\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+4s+5}.
Multiplicando por s(s^2+4s+5) e igualando coeficientes, achamos
A=1,\quad B=0,\quad C=1.
Logo
Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2+4s+5}.
Para inverter, note que
s^2+4s+5=(s+2)^2+1.

Passo 5

Usando tabela de transformadas:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^2+1}\Bigr\}=e^{-2t}\sin(t).
Portanto a solução no domínio do tempo é
y(t)=1 + e^{-2t}\sin(t).

Resposta

y(t)=1 + e^{-2t}\sin(t).

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