Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo:
Determinar a solução do problema de valor inicial 4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+17 y=g(t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 em função de uma integral de convolução.
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f(t)=\mathcal{L}^{-1}{F(s)} F(s)=\mathcal{L}{f(t)} Notes
1.1 \frac{1}{s}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. e^{a t} \frac{1}{s-a}, \quad s>a Sec. 6.1; Ex. 5
3. t^{n}; n= positive integer \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t^{p}, p>-1 \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin at \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. \cos a t \frac{s}{s^{2}+a^{2}}, \quad s>0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. \operatorname{sinh} a t (\frac{a}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh a t (\frac{s}{s{2}-a{2}}, \quad s> a ) Sec. 6.1; Prob. 7
9. e^{a t} \sin b t \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 13
10. e^{a t} \cos b t \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 14
11. t^{n} e^{a t}, n= positive integer \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}, \quad s>a Sec. 6.1; Prob. 18
12. u_{c}(t) \frac{e^{-c s}}{s}, \quad s>0 Sec. 6.3
13. u_{c}(t) f(t-c) e^{-c s} F(s) Sec. 6.3
14. e^{c t} f(t) F(s-c) Sec. 6.3
15. f(c t) \frac{1}{C} F\left(\frac{S}{C}\right), \quad C>0 Sec. 6.3; Prob. 19
16. \int_{0}^{t} f(t-\tau) g(\tau) d \tau F(s) G(s) Sec. 6.6
17. \delta(t-c) e^{-c s} Sec. 6.5
18. f^{(n)}(t) s^{n} F(s)-s^{n-1} f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) Sec. 6.2
19. (-t)^{n} f(t) F^{(n)}(s) Sec. 6.2; Prob. 28

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
4\,y''+4\,y'+17\,y = g(t),\qquad y(0)=0,\;y'(0)=0
usando transformada de Laplace e expressar y(t) em forma de integral de convolução. Vamos precisar das propriedades de transformada de derivadas e da transformada inversa de
\dfrac{1}{4s^{2}+4s+17}, além da regra que liga produto no domínio de s à convolução no domínio de t.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace à equação. Denotando
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), e usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}=s\,Y(s)-y(0),
com y(0)=y'(0)=0, obtemos
4\bigl(s^{2}Y(s)\bigr)+4\bigl(sY(s)\bigr)+17\,Y(s)=G(s).

Passo 3

Fatorando Y(s) na equação do passo anterior, vem
Y(s)\bigl(4s^{2}+4s+17\bigr)=G(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{G(s)}{4s^{2}+4s+17}.

Passo 4

Para usar a convolução, escrevemos
Y(s)=G(s)\;\cdot\;\frac{1}{4s^{2}+4s+17}.
Precisamos da transformada inversa de
\dfrac{1}{4s^{2}+4s+17}. Observe que
4s^{2}+4s+17 =4\Bigl(s^{2}+s+\tfrac{17}{4}\Bigr) =4\Bigl((s+\tfrac12)^{2}+4\Bigr).
Logo
\frac{1}{4s^{2}+4s+17} =\frac{1}{4}\;\frac{1}{(s+\tfrac12)^{2}+2^{2}} =\frac{1}{4}\,\mathcal{L}\{e^{-t/2}\sin(2t)\}\,\frac{1}{2} =\frac{1}{8}\,\frac{1}{(s+\tfrac12)^{2}+2^{2}}.
Mas de tabela sabemos
\mathcal{L}\{e^{-t/2}\sin(2t)\} =\frac{2}{(s+\tfrac12)^{2}+2^{2}},
então
\frac{1}{(s+\tfrac12)^{2}+2^{2}} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-t/2}\sin(2t)\} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{4s^{2}+4s+17} =\frac{1}{8}\,\mathcal{L}\{e^{-t/2}\sin(2t)\}.

Passo 5

Pela propriedade do produto de transformadas (Tabela item 16), a transformada inversa de Y(s)=G(s)\cdot H(s) é a convolução
y(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,d\tau,
onde
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{4s^{2}+4s+17}\Bigr\} =\frac{1}{8}\,e^{-t/2}\,\sin(2t).

Resposta

\boxed{% y(t) =\int_{0}^{t}\frac{1}{8}\,e^{-(t-\tau)/2}\,\sin\bigl(2(\,t-\tau)\bigr)\;g(\tau)\,d\tau. }

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