Usaremos a notação
para indicação funções
e
suas derivadas com respeito a
.
Na equação
a constante a
assume valores inteiros maiores ou igual a zero. Fixado
, existe uma solução
tal que
para
par e
,
para
ímpar. Determine
para
.
Na equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, para cada inteiro k≥0, uma função y=H_k(x) que satisfaça a EDO
com as condições iniciais H_k(0)=1 e H_k’(0)=0 quando k é par, e H_k(0)=0 e H_k’(0)=1 quando k é ímpar. Esse é o problema clássico que gera os polinômios de Hermite (normalizados de modo que H_k tenha grau k e se anule ou tenha derivada unitária em x=0 conforme a paridade). Vamos usar o método da série de potências, que leva a uma relação de recorrência para os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Começamos supondo
Então
Substituindo em
e igualando os coeficientes de x^n, obtém-se a relação
Passo 3
Para k par escolhemos a_0=1 (pois H_k(0)=a_0=1) e a_1=0 (garante paridade). Calculamos então os coeficientes pares:
- Para k=0: só existe a_0=1 ⇒ H_0(x)=1.
- Para k=2: a_0=1 ⇒
Logo
- Para k=4: a_0=1 ⇒
Assim
Passo 4
Para k ímpar escolhemos a_0=0 e a_1=1 (pois H_k(0)=0 e H_k’(0)=a_1=1). Calculamos então os coeficientes ímpares:
- Para k=1: só existe a_1=1 ⇒ H_1(x)=x.
- Para k=3: a_1=1 ⇒
Logo
- Para k=5: a_1=1 ⇒
Assim
Passo 5
Checando-se, cada H_k é de grau k, satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.
Resposta
H_0(x)=1
H_1(x)=x
H_2(x)=1-2x^2
H_3(x)=x-\frac{2}{3}x^3
H_4(x)=1-4x2+\frac{4}{3}x4
H_5(x)=x-\frac{4}{3}x3+\frac{4}{15}x5
H_1(x)=x
H_2(x)=1-2x^2
H_3(x)=x-\frac{2}{3}x^3
H_4(x)=1-4x2+\frac{4}{3}x4
H_5(x)=x-\frac{4}{3}x3+\frac{4}{15}x5