Usaremos a notação y(x) para indicação funções y: R longrightarrow R e y^prime(x) suas derivadas com respeito a x.
Na equação
y^prime prime-2 x y^prime+2 k y=0,
a constante a k assume valores inteiros maiores ou igual a zero. Fixado k, existe uma solução Hk(x) tal que Hk(0)=1, Hk^prime(0)=0 para k par e Hk(0)=0, Hk^prime(0)=1 para k ímpar. Determine Hk(x) para k=0,1,2,3,4,5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, para cada inteiro k≥0, uma função y=H_k(x) que satisfaça a EDO
y''-2xy'+2ky=0
com as condições iniciais H_k(0)=1 e H_k’(0)=0 quando k é par, e H_k(0)=0 e H_k’(0)=1 quando k é ímpar. Esse é o problema clássico que gera os polinômios de Hermite (normalizados de modo que H_k tenha grau k e se anule ou tenha derivada unitária em x=0 conforme a paridade). Vamos usar o método da série de potências, que leva a uma relação de recorrência para os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Começamos supondo
Hk(x)=sumn=0^k anx^n
Então
Hk'=sumn=1^k nanx^n-1,
Hk''=sumn=2^k n(n-1)anx^n-2
Substituindo em
Hk''-2xHk'+2kHk=0
e igualando os coeficientes de x^n, obtém-se a relação
an+2=2(n-k)(n+2)(n+1),an, n=0,1,dots,k-2

Passo 3

Para k par escolhemos a_0=1 (pois H_k(0)=a_0=1) e a_1=0 (garante paridade). Calculamos então os coeficientes pares:
  • Para k=0: só existe a_0=1 ⇒ H_0(x)=1.
  • Para k=2: a_0=1 ⇒ a2=2(0-2)2cdot1a0=-2
    Logo
    H2(x)=a0 + a2x^2=1-2x^2
  • Para k=4: a_0=1 ⇒ a2=2(0-4)2cdot1=-4, a4=2(2-4)4cdot3a2=-412(-4)=43
    Assim
    H4(x)=1-4x^2+43x^4

Passo 4

Para k ímpar escolhemos a_0=0 e a_1=1 (pois H_k(0)=0 e H_k’(0)=a_1=1). Calculamos então os coeficientes ímpares:
  • Para k=1: só existe a_1=1 ⇒ H_1(x)=x.
  • Para k=3: a_1=1 ⇒ a3=2(1-3)3cdot2=-2cdot26=-23
    Logo
    H3(x)=x-23x^3
  • Para k=5: a_1=1 ⇒ a3=2(1-5)3cdot2=-86=-43, a5=2(3-5)5cdot4a3=-420l(-43r)=415
    Assim
    H5(x)=x-43x^3+415x^5

Passo 5

Checando-se, cada H_k é de grau k, satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.

Resposta

H_0(x)=1
H_1(x)=x
H_2(x)=1-2x^2
H_3(x)=x-\frac{2}{3}x^3
H_4(x)=1-4x2+\frac{4}{3}x4
H_5(x)=x-\frac{4}{3}x3+\frac{4}{15}x5

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