Use
e determine:
Numa partida de futebol, uma falta é cobrada de modo que a bola é lançada segundo um ângulo de
o grama do. A bola alcança uma altura máxima de
. Despreze a resistência do ar.
a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? Despreze a resistência do ar?
b) Qual é o alcance dessa bola?
Numa partida de futebol, uma falta é cobrada de modo que a bola é lançada segundo um ângulo de
a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? Despreze a resistência do ar?
b) Qual é o alcance dessa bola?
Passo 1
O enunciado dá uma cobrança de falta em que a bola é lançada com ângulo
) em relação ao solo e atinge altura máxima
). Foi dado
) e despreza-se a resistência do ar.
Perguntas:
(a) Qual o módulo da velocidade inicial ) da bola?
(b) Qual é o alcance horizontal ) da bola?
Perguntas:
(a) Qual o módulo da velocidade inicial
(b) Qual é o alcance horizontal
Informações relevantes listadas:
- Ângulo de lançamento:
). - Altura máxima:
) (tirado do enunciado). - Aceleração da gravidade:
) (usada conforme pedido). - Despreza-se resistência do ar (movimento é um movimento de projétil ideal).
Passo 2
Conceito para altura máxima (aula rápida): na direção vertical, a componente vertical da velocidade inicial é
). No ponto de altura máxima a velocidade vertical chega a zero. Usando a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical:
onde
) é a velocidade vertical final (no topo
),
) é a componente vertical inicial,
) é a gravidade e
) é a altura máxima. Substituindo
) obtemos a fórmula padrão para altura máxima:
Explicando as variáveis:
) é o ganho de altura desde o ponto de lançamento até o topo;
) é a velocidade inicial na vertical;
) é a aceleração devida à gravidade (positiva aqui como módulo).
Passo 3
Substituímos
) na fórmula de
):
Agora isolamos
). Multiplicando ambos os lados por
) e dividindo por
):
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o sinal positivo pois
) é módulo de velocidade):
Aqui expliquei cada passo algébrico: elevar ao quadrado, isolar, raiz quadrada — operações básicas para resolver para
).
Passo 4
Agora aplicamos os números:
),
),
). Calculamos
):
Sabemos que
). Então
(Interpretação: a componente vertical inicial é
, que sobe até zerar; com essa velocidade vertical máxima 10 m/s a altura máxima é
, consistente.)
Passo 5
Agora para o alcance horizontal
). Conceito: a componente horizontal da velocidade é constante (sem resistência do ar):
). O tempo total de voo
) é o dobro do tempo de subida até o topo, e o tempo de subida é
). Logo
O alcance é velocidade horizontal vezes tempo de voo:
Usamos a identidade trigonométrica
) para simplificar:
Aqui expliquei o porquê de cada termo:
é constante,
vem da simetria do movimento vertical, e a identidade trigonométrica simplifica a expressão.
Passo 6
Substituímos
),
) e
) na fórmula:
Então
Valor aproximado (para leitura rápida):
Expliquei cada substituição e a simplificação numérica passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora (usar que
se for pedir aproximação).
Passo 7
Recapitulando: obtivemos
) a partir da altura máxima e do ângulo; a partir de
) e do ângulo calculamos o alcance
). Você conseguiu — lembre que a estratégia típica em prova é: usar a informação vertical (altura máxima) para achar
), depois usar componente horizontal e tempo de voo para achar alcance.
Resposta
(a)
(b)
(b)