Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e determine:
Numa partida de futebol, uma falta é cobrada de modo que a bola é lançada segundo um ângulo de 30^{\circ} \mathrm{com} o grama do. A bola alcança uma altura máxima de 5,0 \mathrm{~m}. Despreze a resistência do ar.
a) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola? Despreze a resistência do ar?
b) Qual é o alcance dessa bola?

Passo 1

O enunciado dá uma cobrança de falta em que a bola é lançada com ângulo \(30^\circ) em relação ao solo e atinge altura máxima \\(H=5{,}0\\\ \mathrm{m}\). Foi dado \\(g=10\\ \mathrm{m/s^2}\) e despreza-se a resistência do ar.
Perguntas:
(a) Qual o módulo da velocidade inicial \\(v_0\) da bola?
(b) Qual é o alcance horizontal \\(R\) da bola?
Informações relevantes listadas:
  • Ângulo de lançamento: \\(\theta=30^\circ\).
  • Altura máxima: \\(H=5{,}0\\ \mathrm{m}\) (tirado do enunciado).
  • Aceleração da gravidade: \\(g=10\\ \mathrm{m/s^2}\) (usada conforme pedido).
  • Despreza-se resistência do ar (movimento é um movimento de projétil ideal).

Passo 2

Conceito para altura máxima (aula rápida): na direção vertical, a componente vertical da velocidade inicial é \\(v_{0y}=v_0\sin\theta\). No ponto de altura máxima a velocidade vertical chega a zero. Usando a equação cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical:
v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gH,
onde \\(v_y\) é a velocidade vertical final (no topo v_y=0\), \\(v_{0y}\) é a componente vertical inicial, \\(g\) é a gravidade e \\(H\) é a altura máxima. Substituindo \\(v_y=0\) obtemos a fórmula padrão para altura máxima:
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Explicando as variáveis: \\(H\) é o ganho de altura desde o ponto de lançamento até o topo; \\(v_{0y}\) é a velocidade inicial na vertical; \\(g\) é a aceleração devida à gravidade (positiva aqui como módulo).

Passo 3

Substituímos \\(v_{0y}=v_0\sin\theta\) na fórmula de \\(H\):
H=\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Agora isolamos \\(v_0\). Multiplicando ambos os lados por \\(2g\) e dividindo por \\(\sin^2\theta\):
v_0^2=\frac{2gH}{\sin^2\theta}.
Tomando raiz quadrada (e escolhendo o sinal positivo pois \\(v_0\) é módulo de velocidade):
v_0=\frac{\sqrt{2gH}}{\sin\theta}.
Aqui expliquei cada passo algébrico: elevar ao quadrado, isolar, raiz quadrada — operações básicas para resolver para \\(v_0\).

Passo 4

Agora aplicamos os números: \\(g=10\\ \mathrm{m/s^2}\), \\(H=5{,}0\\ \mathrm{m}\), \\(\theta=30^\circ\). Calculamos \\(\sqrt{2gH}\):
2gH=2\cdot 10\cdot 5{,}0=100,
\sqrt{2gH}=\sqrt{100}=10.
Sabemos que \\(\sin 30^\circ=1/2\). Então
v_0=\frac{10}{\sin 30^\circ}=\frac{10}{1/2}=20\\ \mathrm{m/s}.
(Interpretação: a componente vertical inicial é v_{0y}=v_0\sin30^\circ=20\cdot\tfrac{1}{2}=10\\ \mathrm{m/s}, que sobe até zerar; com essa velocidade vertical máxima 10 m/s a altura máxima é 10^2/(2\cdot10)=5{,}0\\ \mathrm{m}, consistente.)

Passo 5

Agora para o alcance horizontal \\(R\). Conceito: a componente horizontal da velocidade é constante (sem resistência do ar): \\(v_{0x}=v_0\cos\theta\). O tempo total de voo \\(T\) é o dobro do tempo de subida até o topo, e o tempo de subida é \\(t_\text{subida}=v_{0y}/g\). Logo
T=2\frac{v_{0y}}{g}=2\frac{v_0\sin\theta}{g}.
O alcance é velocidade horizontal vezes tempo de voo:
R=v_{0x}\,T=v_0\cos\theta\cdot 2\frac{v_0\sin\theta}{g}=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usamos a identidade trigonométrica \\(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\) para simplificar:
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Aqui expliquei o porquê de cada termo: v_{0x} é constante, T vem da simetria do movimento vertical, e a identidade trigonométrica simplifica a expressão.

Passo 6

Substituímos \\(v_0=20\\ \mathrm{m/s}\), \\(\theta=30^\circ\) e \\(g=10\\ \mathrm{m/s^2}\) na fórmula:
v_0^2=20^2=400,
\sin(2\theta)=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
R=\frac{400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{400}{10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Valor aproximado (para leitura rápida):
20\sqrt{3}\approx 20\cdot 1{,}732\approx 34{,}6\\ \mathrm{m}.
Expliquei cada substituição e a simplificação numérica passo a passo para você poder reproduzir na prova sem calculadora (usar que \sqrt{3}\approx1{,}732 se for pedir aproximação).

Passo 7

Recapitulando: obtivemos \\(v_0=20\\ \mathrm{m/s}\) a partir da altura máxima e do ângulo; a partir de \\(v_0\) e do ângulo calculamos o alcance \\(R=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 34{,}6\\ \mathrm{m}\). Você conseguiu — lembre que a estratégia típica em prova é: usar a informação vertical (altura máxima) para achar \\(v_0\), depois usar componente horizontal e tempo de voo para achar alcance.

Resposta

(a) v_0=20\\ \mathrm{m/s}
(b) R=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 34{,}6\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados