Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integral t(t^2+1)^1 / 5 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral t,(t^2+1)^1/5,dt. O conteúdo principal é integração por substituição algébrica, já que vemos t multiplicando uma função de t^2+1.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = t^2 + 1. Então, diferenciando, du = 2t,dt, ou seja, t,dt = tfrac12,du.
b) A integral original se transforma em
integral t,(t^2+1)^1/5,dt = integral (u)^1/5 cdot tfrac12,du = tfrac12 integral u^1/5,du

Passo 3

Agora é só integrar em u:
tfrac12 integral u^1/5,du = tfrac12 cdot u^1/5+11/5+1 + C = tfrac12 cdot u^6/56/5 + C = 512,u^6/5 + C

Passo 4

Voltando a t, temos u = t^2+1, logo a resposta em termos de t é
512,(t^2+1)^6/5 + C

Resposta

512(t^2+1)^6/5 + C

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