Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integral tg^3(3 x+2) sec ^2(3 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^3(3x+2)sec^2(3x+2),dx. O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos sec^2(3x+2),dx que lembra a derivada de tan(3x+2).

Passo 2

Para usar a substituição, definimos u = tan(3x+2). Então, pela regra da cadeia, sua diferencial é dada por
du = 3sec^2(3x+2),dx

Passo 3

Isolando o diferencial, temos
sec^2(3x+2),dx = du3

Passo 4

Agora reescrevemos a integral original em termos de u. Como tan^3(3x+2) = u^3, substituímos em
integral tan^3(3x+2)sec^2(3x+2),dx = integral u^3 cdot du3 = 13 integral u^3 ,du

Passo 5

Integramos u^3 usando integral u^n ,du = u^n+1n+1:
13 integral u^3 ,du = 13 cdot u^44 + C = u^412 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u = tan(3x+2).

Resposta

tan^4(3x+2)12 + C

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